文档介绍：函 数 的 奇 偶 性
王素琴
欢迎各位领导与老师前来指导！
如果函数f(x)=x2,分别计算f(-2) ，f(2), f(-1), f(1), f(-x)
0
x
y
f(x)=x2
.A
.B
4
-2
2
1
-1
1
.C
.D
f(-2)=f(2)，f(-1)=f(1)
∵f(-x)=(-x)2=x2，f(x)=x2
偶函数：如果对于函数f(x)在定义域 A内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫偶函数
∴ f(-x)=f(x)
如果函数f(x)=x3,分别计算f(-1)，f(1)，f(-2)，f(2)，f(-x)
f(-1)=-f(1), f(-2)=-f(2)
f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)
奇函数：如果对于函数f(x)在定义域A内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫奇函数。
若函数是奇函数或是偶函数，则称函数具有奇偶性。
y
0
1
1
-1
-2
2
8
-8
. A
. B
. C
. D
f(x)=x3
x
y
f(x)=x2 x∈[-2,3]
0
.A
. E
4
-2
2
1
-1
1
.B
.C
9
3
.D
X
判断函数f(x)=x2,x∈[-2,3]的奇偶性
在函数f(x)= x2,x∈[-2,3]中，当x=3时，则-x=-3，对函数是否有f(-3)存在？
对以上函数在定义域内的任意一个x是不是都能使f(-x)=f(x)成立？
函数f(x)在定义域 A内任意一个x，都有f(-x)=f(x) 或f(-x)=-f(x)
判断函数是奇或偶函数的前提条件是：定义域要关于原点对称。即：x ∈A，且-x ∈A.
x∈(- ∞，+∞)
x∈(- ∞,0)∪(0, +∞)
x∈(- ∞,1)∪(1, +∞)
观察下列函数的定义域是否关于原点对称？
(1) f(x)=x2+x4
(2)f(x)=x2+x x∈[-2,2]
(3) f(x)=
(4)f(x)=
(5)f(x)=
如：（-∞，+∞），（-a,a），[-a,a],（- ∞,-a）∪（a, +∞）等。
0
x
-2
2
·
·
0
x
。
-1
0
x
。
1
x∈(- ∞,-1]∪[1, +∞)
·
-1
0
x
1
·
·
(1) f(x)=x2+x4
(2)f(x)=x2+x x∈[-2,2]
(3) f(x)=
(4)f(x)=
(5)f(x)=
例：判断下列函数的奇偶性：
解：（1）∵函数的定义域为（-∞，+∞）
∴定义域关于原点对称
∵f(-x)=(-x)2+(-x)4=x2+x4=f(x)
∴f(x)是偶函数
（2） ∵函数的定义域为[-2，2]
∴定义域关于原点对称
∵f(-x)=(-x)2+(-x) =x2-x
f(-x) ≠f(x) f(-x) ≠-f(x)
∴f(x)是非奇非偶函数
判断函数奇偶性的步骤：
(1)求函数的定义域，看函数的定义域是否关于原点对称
（2）看f(-x)与f(x)的关系
奇函数： f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0
偶函数：f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0
（3）结论
(1) f(x)=x2+x4
(2)f(x)=x2+x x∈[-2,2]
(3) f(x)=
(4)f(x)=
(5)f(x)=
（3）∵函数的定义域为（-∞，0) ∪(0，+∞）
∴定义域关于原点对称
∴f(x)是奇函数
（4）∵函数的定义域为（-∞，1) ∪(1，+∞）
∴定义域不关于原点对称
∴f(x)是非奇非偶函数
（5） ∵函数的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞）
∴定义域关于原点对称
∴f(x)是偶函数
观察偶函数f(x)=x2的图像上的点有什么关系？
※ 偶函数的图象关于y轴对称
若（a,b)在图象上，则______也在图象上
0
x
y
f(x)=x2
.A
.B
4
-2
2
1
-1
1
.C
.D
.E(a,b)
F(-a,b) .
A（-2，4） B（2，4）
C（-1，1） D（1，1）
(-a,b)
观察奇函数f(x)=x3的图像上的点有什么关系？
◆奇函数的图象关于原点对称
A（1，1） B（-1，-1）
C（2，8） D（-2，-8）
若（a,b)在图象上，则____