数列求通项公式的方法.doc

文档介绍：递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列满足，，求。
变式: 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
例2:已知， ，求。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
变式1:（2006，重庆,文,14）
在数列中，若，则该数列的通项_______________
变式2:（2006. ）
已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明：
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）
设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列：， ，求数列的通项公式。
例:已知数列中，,,，求。
变式:

（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
，,,，求
，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
，2为公差的等差数列，所以
变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
变式: (2005,江西,文,22