文档介绍：第六章方差分析
第一节方差分析的基本原理
第二节多重比较
第三节方差分析的线性模型与期望均方
第四节单向分组资料的方差分析
第五节两向分组资料的方差分析
第六节方差分析的基本假定和数据转换
第一节方差分析的基本原理
所谓方差分析(analysis of variance) ,是关于k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法,是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分,从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。
假设测验的依据是:扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计。
这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异.
方差是平方和除以自由度的商。
一、自由度和平方和的分解
设有k组数据,每组皆具n个观察值,则该资料共有nk个观察值,。
每组具n个观察值的k 组数据的符号表
组别
观察值( yij,i=1,2,…,k;j=1,2…,n)
总和
平均
均方
1
y11
y12
…
y1j
…
y1n
T1
2
y21
y22
…
y2j
…
y2n
T2
…
…
i
yi1
yi2
…
yij
…
yin
Ti
…
…
k
yk1
yk2
…
ykj
…
ykn
Tk
,总变异是nk个观察值的变异,故其自由度
v = nk-1,而其平方和SST则为:
(6·1)
其中的C称为矫正数:
(6·2)
对于第 i 组的变异,有
从而总变异(6·1)可以剖分为:
(6·3)
即总平方和=组内(误差)平方和+处理平方和
组间变异由k个的变异引起,故其自由度 v =k-1 , 组间平方和 SSt 为:
组内变异为各组内观察值与组平均数的变异,故每组具有自由度 v =n-1和平方和;而资料共有k 组,故组内自由度 v = k (n-1) ,组内平方和 SSe 为:
(6·5)
(6·4)
因此,:
(6·6)
总自由度DFT =组间自由度DFt +组内自由度DFe
求得各变异来源的自由度和平方和后,进而可得:
(6·7)
[] 以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子,其中A为对照,每处理各得4个苗高观察值(cm),,试分解其自由度和平方和。
水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂
苗高观察值
总和Ti
平均
A
18 21 20 13
72
18
B
20 24 26 22
92
23
C
10 15 17 14
56
14
D
28 27 29 32
116
29
T=336
=21
根据(6·6)进行总自由度的剖分:
总变异自由度
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
根据(6·3)进行总平方和的剖分:
或
或药剂A内:
药剂B内:
药剂C内:
药剂D内:
所以
进而可得均方:
二、F分布与F测验
在一个平均数为、方差为的正态总体中,随机抽取两个独立样本,分别求得其均方 s12 和 s22,将 s12 和 s22 的比值定义为F:
(6·8)
此F值具有s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。
所谓F分布,就是在给定的 v1 和 v2 下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样,就可得到一系列的F 值而作成一个分布。
F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表查出。