文档介绍：一幂级数 —
定理1 如果幂级数
的系数满足条件
| |
则 (1)当0< l <+时,
(2)当l =0时, R=+ ;
(3)当l = +时, R=0.
二幂级数的收敛半径
1
编辑ppt
三、幂级数的性质
1 加减法
设f(x)= 和g(x)= 的收敛半径
分别各为R1>0和R2>0 , 则
= f(x)  g(x).
的收敛半径 R  min{R1, R2}.
2 设幂级数的收敛半径R>0, 则在收敛区间(R, R)内, 其和函数S(x)是连续函数.
若级数在端点收敛, 则S(x)在端点单侧连续.
2
编辑ppt
3 幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可导, 并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收敛半径不变.
即 f(x) =
x (R, R)
4 幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可积, 并可逐项求积分, 且积分后级数的收敛半径不变.
x (R, R)
即
n=1
(an xn)
3
编辑ppt
注 : 常用已知和函数的幂级数
(1)
(1<x<1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4
编辑ppt
二、麦克劳林(Maclaurin)公式
三、泰勒级数
一、泰勒公式的建立
§ 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数
5
编辑ppt
一次多项式
在微分的应用中有近似计算公式:
若 f (x0)存在, 则在 x0点附近有
f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)
f (x)  f(x0) + f (x0) (xx0)
+ o(xx0)
需要解决的问题
如何提高精度?
如何估计误差?
不足: 1. 精确度不高;
2. 误差不能定量的估计.
希望: 在x0点附近, 用适当的高次多项式
Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
 f (x)
一、泰勒公式
6
编辑ppt
猜想
2 若有相同的切线
3 若弯曲方向相同
近似程度越来越好
n次多项式系数的确定
1 若在x0点相交
Pn(x0)= f (x0)
Pn (x0)= f (x0)
Pn (x0)= f (x0)

y=f(x)
假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
y=Pn (x)
x
o
y
x0
7
编辑ppt
即有
Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
Pn (n) (x) =n! an
Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1
Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n 1)an(xx0)n2

a0 = f(x0),
2a2=f (x0),
n!an=f(n)(x0),

k=0, 1, 2, 3, ···, n
令x = x0得
a1=f(x0),

a0 = f(x0),
a1=f(x0),
8
编辑ppt
k=0, 1, 2, 3, ···, n
代入Pn(x)中得
Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + ···
+ (xx0)n
Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
称为函数 f (x)在x0处的泰勒多项式.
k=0, 1, 2, 3, ···, n
称为泰勒系数
f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .
9
编辑ppt
其中
定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域UR (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取UR (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为
f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+
( 在x0与x之间)
+Rn(x)
公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式.
(1)
Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.
泰勒系数
k=0, 1, 2, ·