文档介绍：实验报告
题目： 非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验 采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：(目的和意义)
掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton 法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在［a,b］±连续， f(a)f(b)<0,且f(x)在［a,b］内仅有一个实根八取区间中点c,若，则c恰为其根，否则根 据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间［a,c］和［c,b］中的哪一个，从而得出新区间，仍称为［a,b］. 重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式
产生逼近解/的迭代数列｛小｝,这就是Newton法的思想。当丸接近/时收敛很快，但是 当X。选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根 时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);
y=-x*x-sin(x);
写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：
clear
%%%给定求解区间
b=;
a=0;
%%%误差
R=l;
k=0;%迭代次数初值
while (R>5e-6);
c=(a+b)/2; iffl2(arfl2(c)>0;
a=c;
else
b=c;
end
R=b・a;%求出误差
k=k+l;
end
x=c%给出解
Newton法及改进的Newton法源程序：
clear
%%%%输入函数 f=input('请输入需要求解函数> >:rs'丿 %%%求解f(x)的导数 df=dijf(f);
%%%改进常数或重根数
miu=2;
%%%初始值xO
xO=input('input initial value x0>>r);
k=0;%迭代次数
max=100\%最大迭代次数
R=eval(subs(ff,xO,f,x,));%求解f(xO),以确定初值xO时否就是解 while (abs(R)>le-8)
xl =xO-miu ^eval(subs(ff 'x0'f ,x,))/eval(subs(dff 'xO： '£)); R=xl-xO;
xO=xl;
k=k+l;
if (eval(subs(f/x0,/x,))<le-10);
break
end
ifk>max-,%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input('maybe result is error,choose a new xO,y/n?»\'sr);
if strcmp(ssf ryr)
xO=input('input initial value xO»r);
k=0;
else
break
end
end
end
k; %给出迭代次数
x=xO； %给出解
结果分析和讨论：
-y-0在［1, 2］内的根。(£ = 5*10",下同)
计算结果为
x= ；
f(x)= - lle-007；
k=18；
由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。
用二分法计算方程x3-x-l = 0在［1, ］内的根。
计算结果为
x= ；
f(x)= -006；
k=17；
由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。
用Newton法求解下列方程
xex -1 = 0 xo=；
计算结果为
x= **********；
f(x)= -016；
k=4；
由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。
.r3 - .r -1 = 0 xo=l ；
(x - l)2(2x -1) = 0 x()=, x()= ；
当x0=，计算结果为
x= ；
f(x)= --014；
k=4；