文档介绍：1.( 2005 年青岛市)在△ ABC 中, AC=BC=2 ,∠ C=90 o, 将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P处, 将三角板绕点 P 旋转, 三角板的两直角边分别交射线 AC 、CB 于D、E 两点。图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的 3 种情况。研究: (1) 三角板绕点 P 旋转, 观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系?并结合图②加以证明。(2) 三角板绕点 P 旋转,△ PBE 是否能成为等腰三角形?若能, 指出所有情况( 即写出△ PBE 为等腰三角形时 CE 的长) ;若不能,请说明理由。(3) 若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M处,且 AM : MB =1:3, 和前面一样操作,试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系?并结合图④加以证明。答案: 解:(1 )连结 PC A P D C E B ?? ABC P AB 是等腰直角三角形, 是的中点???????? CP PB CP AB ACP ACB ,, 12 45 ?????? ACP B 45 又?????????? DPC CPE BPE CPE 90 ???? DPC BPE ???? PCD PBE ?? PD PE …… 5分(2 )共有四种情况,学生每写出一种得 1 分,共 4分①当点 C 与点 E 重合,即 CE =0 时, PE = PB ②,此时 CE PB BE ???22 ③当 CE =1 时,此时 PE = BE ④当在的延长线上,且时,此时 E CB CE PB EB ???22 …… 9分(3) MD : ME =1:3 过点作, ,垂足分别是、 M MF AC MH BC FH ???? MH AC MF BC CFMH ////, 四边形是平行四边形?????C CFMH 90 是矩形????? FMH MF CH 90, ? CH HB AM MB HB MH MF MH ????? 13 13 ?????????? DMF DMH DMH EMH 90 ???? DMF EMH ?????? MFD MHE 90 ???? MDF MHE ??? MD ME MF MH 13 2 、一位同学拿来了两块 45° 三角尺Δ ACB 做了一个探究活动:将Δ MNK 直角顶点 M放在Δ ABC 的斜边 AB 的中点处,设 AC = BC =a。(1 )如图 1 ,两三角尺的重叠部分为Δ ACM ,则重叠部分的面积为,周长为。 A AB B B C C C M M M NN N KK K 图1图2 图3 (2)将图1 中的Δ MN K 绕顶点逆时针旋转 45°,如图2, 此时重叠部分的面积为, 周长为。(3 )如果将Δ MNK 绕M 旋转到不同于图 1 、图 2 的图形,如图 3 ,猜想此时重叠部分的面积有何变化?证明你发现的结论。 3、如图 1, 将两个等腰直角三角板叠放在一起, 使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合, 并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转。在旋转过程中, 下面三角板的斜边被分成三条线段,我们来研究这三条线段之间的数量关系。实验与振作: 如图 2 ,如果上面三角板的一条直角边旋转到 CM 的位置时, 的位置,请在网格中分别画出以 AM 、 MN 和 NB 为边长的正方形,并涂上阴影。观察这三个正方形的面积之间的关系。猜想与探究如图 3 ,直角Δ ABC 中, AC=BC ,∠ ACB=90 °。M、N是 AB 边上的点, ∠ MCN=45 °。作 DA⊥ AB于A ,截取 DA=NB ,并连接 DC、 DM 。我们来证明线段 CD 相等。∵∠ CAB= ∠ CBA=45 °,且∵ DA⊥ AB于A, ∴∠ DAC=45 °。∴∠ DAC= ∠ CBA 。又∴ DA=NB , AB=AC , ∴Δ CAD ≌B 。∴ 。请你继续解答: (1) 线段 MD 与线段 MN 相等吗?为什么? (2) 线段 AM、 NM与 NB 有怎样的数量关系?为什么? 拓广与应用如图 4 ,已知线段 AB 上任意一点 M( AM < MB ) ,是否总能在线段 MB 上找到一点 N,使得分别以AM和BN 为边长的正方形的面积的和等于以MN 为边长的正方形的面积。若能, 请在图 4 中画出 N 点的位置,并简要说明作法;若不能,请说明理由。 4.( 2006 年内蒙古鄂尔多斯) 如图 14(a ), 两个不全等的等腰直角三角形 OAB 和 OCD 叠放在一起,并且有公共的直角顶点 O . (1) 将图 14(a ) 中的 OA