文档介绍：三角形中的最值（或范围)问题
解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点，是三角，函数,解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决.
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决
例1。在△ＡＢC中, 分别是内角的对边，且2asｉnA =（2ｂ+c）siｎB+（２c+b）ｓinC.
（１） 求角A的大小；（2）求的最大值.
变式1：已知向量,，且，其中是△ＡBＣ的内角，分别是角的对边.
（1) 求角的大小;（2)求的最大值.
解:由，得a+b—c＝ａb=2abcosＣ
所以cｏsＣ=,从而C＝６０
故=ｓin(６０+A)
所以当A=３0时,的最大值是
变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中,若有２R（ｓinＡ—sinC)＝（a—b）siｎB成立,试求⊿AＢC的面积Ｓ的最大值.
解：根据题意得:
2R（-）＝(a-b）＊
化简可得 c=a＋ｂ—ab, 由余弦定理可得：
C=4５， A+B=135
S=absinＣ=2RｓｉnA*2RsiｎB＊sｉnＣ
=sinＡsｉn（1３5-A）
=(ｓｉｎ(2Ａ＋４5)+1
∵０〈A<135 ∴45<2Ａ＋４5<315
∴ 当２A+４５=90即A＝１5时,S取得最大值.
类型二：利用重要不等式来解决
例２（１3年重庆中学）在中，角Ａ，Ｂ,Ｃ的对边分别为且。
（１）若，且<,求的值．（2)求的面积的最大值。
解 (1)由余弦定理,
∴
∴,
又∵〈，
解方程组
得或 （舍）.
∴
(2）由余弦定理，
∴
∵
∴，又
∴
即时三角形最大面积为
变式3。在⊿AＢC中，角A，B，C的对边是a，b，c, ⊿ABC的外接圆半径Ｒ＝，且=
（1)求B和b的值； (2）求⊿ＡBC面积的最大值
解:由已知＝，整理可得：sinBcosC+coｓＢsiｎC=2sinAcｏsＢ
即siｎ（Ｂ+C）= 2siｎＡcoｓB
∵A+B+C＝π ∴sinA =2sinAcｏsB
∵ｓinA≠0 ∴cosB＝ ∴B=60
∵Ｒ=， ∴ｂ=2RｓinB=2ｓin６０＝3，
故角B＝60,边ｂ＝３
由余弦定理得b=a+c—2ａｃｃosＢ
即9=a＋c－2aｃcos ６0
∴9+ac＝ a+c≥２ac(当且仅当a＝b时取等号）
即ac＝9(当且仅当a＝b＝3时取等号）
∴三角形得面积s=acsｉnB≤*９*sin60=
∴三角形得面积的最大值是
变式4:⊿AＢC中，若AＢ=1,BC＝2,则角C的取值范围是
答案：解法1．由ａ=2，c=1， ∴a=2c
∴２sinA＝４sinC ∴sinC = sinA≤
∵0<C〈A ∴0<C≤3０
解法2．cｏsC=＝=（ｂ＋）≥，故0<C≤３0
练****br/>1、在△ABC中,内角A，B,C的对边分别为a，b,c，＜C〈且＝。
(1）判断△ＡBＣ的性状； (2）若｜＋｜=2,求·的取值范围.
解：(1）由＝及正弦定理得ｓinＢ=sin2C,∴B=2C，且B+２C＝π，
若B=2Ｃ，＜C＜,∴π＜B＜π,Ｂ+C＞π(舍);∴Ｂ＋2Ｃ＝π，则A＝C，∴△ＡＢC为等腰三角形．
（2)∵｜＋|＝2,∴a2+c2＋2ac·ｃｏsB=４,∴cosＢ=(∵a=ｃ)，而cｏｓB=—ｃoｓ2C,＜Ｃ＜，∴＜ｃosB<１，∴1<a２〈，又·＝aｃcosB=2－ａ2，∴·∈(，1）．
2、在△ABC中，cos2＝，(ａ，b,c分别为角A,Ｂ,C的对边),则△ABC的形状为( )
A．正三角形 Ｂ．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析:∵ｃoｓ２=，∴=,∴ｃosＢ=,
∴＝， ∴a2＋ｃ2-b2=２ａ2，即a２+ｂ2=c2, ∴△ABC为直角三角形． 答案：B
3、在ＡBC中,sin(C－A）＝1， sinＢ=。
（I）求sinA的值; （ＩＩ）设AC=，求ABC的面积.
解:(I）由知。
又所以即
故
(IＩ）由（I)