文档介绍：空间解析几何
基本知识
一、向量
1、已知空间中任意两点与,则向量
2、已知向量、,则
(1)向量的模为
(2)
(3)
3、向量的内积
(1)
(2)
其中为向量的夹角,且
注意:利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积(遵循右手原则,且、)
5、(1)
(2)
二、平面
1、平面的点法式方程
已知平面过点,且法向量为,则平面方程为
注意:法向量为垂直于平面
2、平面的一般方程,其中法向量为
3、(1)平面过原点
(2)平面与轴平行(与面垂直)法向量垂直于轴
(如果,则平面过轴)
平面与轴平行(与面垂直)法向量垂直于轴
(如果,则平面过轴)
平面与轴平行(与面垂直)法向量垂直于轴
(如果,则平面过轴)
(3)平面与面平行法向量垂直于面
平面与面平行法向量垂直于面
平面与面平行法向量垂直于面
注意:法向量的表示
三、直线
1、直线的对称式方程
过点且方向向量为直线方程
注意:方向向量与直线平行
2、直线的一般方程,注意该直线为平面
与的交线
3、直线的参数方程
4、(1)方向向量,直线垂直于轴
(2)方向向量,直线垂直于轴
(3)方向向量,直线垂直于轴
5、(1)方向向量,直线垂直于面
(2)方向向量,直线垂直于面
(3)方向向量,直线垂直于面
应用
一、柱面
1、设柱面的准线方程为,母线的方向向量,求柱面方程
方法:在准线上任取一点,则过点的母线为
又因为在准线上,故
(1) (2)
令 (3)
由(1)、(2)、(3)消去求出,再把代入求出关于的方程,则该方程为所求柱面方程
例1:柱面的准线为,而母线的方向为,求这柱面方程。
解:在柱面的准线上任取一点,则过点的母线为
即(1)
又因为在准线上,故(2),(3)
由(1)(2)(3)得
2、圆柱面就是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹,该距离为圆柱面的半径
方法:在圆柱面上任取一点,过点做一平面垂直于对称轴,该平面的法向量为对称轴的方向向量,把该平面方程与对称轴方程联立求得平面与对称轴的交点,则为圆柱的半径
例2:已知圆柱面的轴为,点(1,-2,1)在此圆柱面上,求这个圆柱面的方程。
解:设圆柱面上任取一点,过点且垂直于轴的平面为
轴方程的参数式为代入平面方程得
故该平面与轴的交点为
过点(1,-2,1)与轴垂直的平面与轴的交点为
因为圆柱截面的半径相等,故利用距离公式得
注意:也可找圆柱面的准线圆处理
例3:求以直线x=y=z为对称轴,半径R=1的圆柱面方程
解:在圆柱面上任取一点,过点且垂直于轴的平面为
轴方程的参数式为代入平面方程得
故该平面与轴的交点为M1
则的长等于半径R=1
故利用距离公式得
即所求方程为
二、锥面
锥面就是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线就是母线,定点为顶点,定曲线为准线。
1、设锥面的准线为,顶点为,求锥面方程
方法:在准线上任取一点,则过点的母线为
(1)
又因为在准线上,故
(2) (2)
由(1)、(2)、(3)消去求出关于的方程,则该方程为所求锥面方程
例1锥面的顶点在原点,且准线为,求这锥面方程。
解:在准线上任取一点,则过点的母线为
又因为在准线上,故且
上面三个方程消去得
2、圆锥面
已知圆锥面的顶点,对称轴(或轴)的方向向量为,求圆锥面方程
方法:在母线上任取一点,则过该点的母线的方向向量为
利用与的夹角不变建立关于的方程,该方程为所求
例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。()
解:在坐标轴上取三点,则过三点的平面为
故对称轴的方向向量为