文档介绍：平面几何五种模型
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平面几何五种模型
等积,鸟头,蝶形,相似,共边
1、等积模型
等底等高的2个三角形面积相等
2个三角形高相等,面积比=底之比
2个三角形底相等,面积比=高之比
夹在一组平行线之间的等积变形(方方模型)
等积模型就是基本应用应就是烂熟于心的
都就是利用面积公式得到的推定比例
如下:
1等底等高的2个平行四边形面积相等
2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半
3 2个平行四边形高相等,面积比=底之比;2个平行四边形底相等,面积比=高之比
2、鸟头模型(共角定理)
鸟头定理:2个三角形中,有一个角相等或互补,这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比(夹角2边 )
鸟头定理的使用要火眼金睛,经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
如图,浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC就是公用A角的,等于浅紫色三角形就是“嵌入”在大三角形ABC里面,注意,鸟头定理用的就是乘积比！不就是单独的线段比~
记忆上用夹角2边 最好记,这里等于
鸟头定理的证明,写出来就是因为很多题目的解题过程,都需要补这么一条辅助线来过度连接2个瞧起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合,所以写出来,仔细瞧。
经由媒介的∆ABE,联系了∆ADE与大三角形∆ABC
BE辅助线很重要！鸟头定理就是用等高(等于就是用等积推算而得)
第二种的证明方式将对顶角压回来∆ABC内,对顶角性质就是相等的,所以压回来的新∆跟∆ADE就是全等∆,再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理
互补角的鸟头定理证明
写了这几个证明,其实说的目的只有一个:连接小三角形与大三角形过度的那条辅助线,特别重要！
3蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)任蝴蝶
①或者
②
【上下比】 = = =
【上上比】 = ==
由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则:如
面积交叉相乘的乘积相等 = =
梯形蝴蝶定理(梯蝴蝶)
①→上:下=
②→上:下:左:右=
③的对应份数为→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑
4 相似三角形
形状相同,大小不同的三角形,只要形状不变,无论大小怎么改变,她们都相似。
1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且=它们的相似比
2 相似三角形的面积比=相似比的平方
3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理:三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半
就就是三角形任2边中点连出来的中位线就就是第三边长的一半！
出题几率:多产生于2条平行线造成的相似三角形
金字塔模型 沙漏模型
S∆ADE:S∆ABC=AF2:AG2
特别注意！相似三角形的面积比就是等于相似比的平方
5 共边定理
燕