文档介绍：第六章根轨迹分析法
♦本章学****目标
1、 了解根轨迹的基本特性和相关概念。
2、 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则。
掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制 过程中。
4、 掌握闭环极点与系统性能的关系。
5、 学会分析增加闭环极点与系统性能的影响。
♦本章教学内容
1、 根轨迹的基本概念。
2、 根轨迹的绘制基本规则。
3、 特殊根轨迹的绘制。
4、 闭环零极点与系统性能的关系。
♦本章重点
、根轨迹的两个基本条件：相角条件和幅值条件。
2、 绘制根轨迹的基本规则。
3、 闭环极点与系统动态性能之间的关系。
♦本章难点
根轨迹的绘制方法。
♦本章学****方法建议及参考资料
1、 熟悉各名词、术语的含义，掌握基本概念。
2、 掌握典型根轨迹的绘制法则。
§
根轨迹分析法的依据
一个控制系统的稳定性完全由它的特征方程所确定，而特征方 程的根又与系统参数密切联系。
2、 根轨迹法的研究背景
在上一章系统稳定性主要是讨论为了取值范围进行要求。为了 更彻底的了解系统，需要知道如果系统中某个参数(例如开环增益 系数)发生变化，特征方程的根会发生什么样的变化，从而导致系 统稳定性发生怎样改变。要解决这样一个问题，反复计算高阶代数 方程的根是完全不现实的。即使采用劳斯一赫尔维兹判据也需要反复 计算劳斯阵，其过程也很复杂。尹文斯()于1 948年提 出了一种求解闭环特征方程根的简便图解方法，即根轨迹法。
3、 根轨迹的研究任务
为了保证系统稳定而对系统中某一参数根轨迹法主要研究当系 统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零 极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
或者说，由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解的方法确 定闭环极点。
根轨迹定义
开环系统(传递函数)的每一个参数从零变化到无穷大时，闭 环系统特征方程根在S平面上的轨迹。
】设控制系统的结构如■ ：
R( s)
郭):——
s(s+2), R(s)=l,则系统的开环传递函数为：
GW(s)
s(s + 2)
其中，K为开环传递函数零极点形式的放大系数，也称为根轨 迹增益。
闭环传递函数为：
C(s) K
R(s) s2 + 2s + K
闭环特征方程为：
s2 +2s+ ^ = 0
可以解出该方程的根为：
S] = -1 + K $2 = -1 - Jl _ K
可见，％、$2是随参数K的变化而变化的。
改变K值时，特征根$1、乃的变化值如 所示。
K
S1
s2
0
0
-2
-
-
1
-1
2
-l+j
-l-j
00
-1+9°
-1 -j8
—、系统特征方程
设系统结构如 所示，系统开环传递函数为,则
C⑸ ％）
,
系统的闭环传递函数为R（门i+&（$）//（$）,系统的闭环特征方程为
1 + G(s)/f(s) = 0
可见，满足开环传递函数等于-1的点即为闭环特征根，也就是 根轨迹上的一个点。
R(s)
图&2」
二、一般系统的根轨迹方程
已知系统开环传递函数的一般表达式为
m
（s+可）
G（s）H（s）= , »>m
fl（s + Pj）
J=1 o
递函数的极点；
其中，-'I为开环传递函数的零点；一必为开环传
K为根轨迹增益。
定义根轨迹方程为：
K(s + Zi)(s + Z2)..(s+Zf) (s + pJ(s+P2)「(s + Pj)
m
□（s+鬥）
）=1
根轨迹方程表达了开环传递函数与闭环特征方
式的关系，该
方程的解即为闭环特征根。
可表示成幅值
将S = CT+兀代入根轨迹方程可知下式是一个复数
和辐角的形式，即可得表示成幅值和辐角的形式，即
n(s+zj)
1
G 丘
n(s+pj)
jT
幅值条件：
开环有限零点到S点的矢量长度之积_ 1
开环极点到S点的矢量长度之积—一7
辐角条件：
m m
2；Z(s + Zj) — 2；Z(s + pj) = ±(2± + l)T j=1 /=1 ( A = 0, 1, 2■■-)
满足幅值条件和辐角条件的S值，就是特征方程式的根，也就
是闭环极点。
因为K在0T8范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。
所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算K值比较
方便，它可以作为计算K值的依据。
1、根轨迹条数