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文档介绍

文档介绍:2011高中数学竞赛培训教材
编者:全国特级教师
(一)集合与容斥原理
  集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学****的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。
一、学****集合要抓住元素这个关键
例1.设A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。
分析:A中的元素是自然数,即由两个整数a、b的平方和构成的自然数,亦即从0、1、4、9、16、25……,n2,……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z
证明:设X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2
又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z,从而X1X2∈A
练****x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证:S=T。
={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证:(1)一切奇数属于M;
(2)4k-2(k∈Z)不属于M;
(3)M中任意两个数的积仍属于M。
(x)=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.
(1)求证:AB;
(2)若A={-1,3}时,求集合B.
二、集合中待定元素的确定
例2.已知集合M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y2)+……+(X2002+1/Y2002)的值等于( ).
分析:解题的关键在于求出X和Y的值,而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集),还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相等两集合的元素之积相等.
解:由M=S知,两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0,又由对数的性质知,0和负数没有对数,所以XY≠0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY)=0,从而XY=1.∴M={X,1,0},S={0,∣X∣,1/X}.再由两集合相等知
当X=1时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X=1不满足题目要求;
当X=-1时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而X=-1满足题目要求,此时Y=-1,于是X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,……),X2K+1/Y2K=2(K=1,2,……),故所求代数式的值为0.
练****其中是正整数,且,并满足,中的所有元素之和为234,求集合A。
三.容斥原理
基本公式:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
问题:开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
设A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同学},则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0,由公式②得28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共

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