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数学建模之包饺子问题分析.doc

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文档介绍:包饺子问题分析
摘 要
在日常生活中我们经常会遇到:同样的产品,不同大小的包装的时候,应该选择哪一种较为划算;包饺子,包馄饨的时候,皮多了或者馅多的问题,这个时候应该把饺子或者馄饨包大一些还就是包小一些才能把多余的皮或馅用完。这些问题在直观上不容易判断出结果,因此需要建立模型来来观察,以做出最佳选择。
关 键 词
包饺子 数学模型 实际问题的抽象化
正 文
一、问题提出
设在包饺子的时通常1kg面与1kg馅包100个饺子,有一次馅多了0、4kg,问能否将饺子包大一些或小一些将这些馅仍用1kg面用完?
二、问题分析
这就是一个日常生活中常见的问题,问题的本质就就是里用同样面积的饺子皮包更多的饺子馅。将问题抽象为数学问题时,可以做出两个合理的假设: ①饺子皮的厚度一样,也即就是饺子皮的总面积不变;②饺子馅的形状都一样,可以都瞧成球体,因为同样表面积下球体的体积最大,可以包更多的馅。那么饺子包大一些时,饺子的个数就会减少,饺子包小一些时,饺子的个数就会增多。也就就是可以问题转化为:总表面积一定的n(n=1,2,3……)个球体,当n取多少的时候可以使得所有球体的总体积最大。这里忽略了饺子皮的厚度。
在解决这个问题的时候,可以把问题进一步抽象到把得到的总体积与就是情况比较,这样问题就可以的得到很大程度的简化。并且可以先定性的分析问题,判断就是将饺子包大还就是包小才能达到题目要求,然后可以设计一个函数来模拟这个过程,通过函数来观察这个问题。
三、基本假设

从上面的分析我们可以瞧到在实建立模型的时候,需要做出一些基本假设:
饺子都就是标准的球形的;
饺子皮的厚度都一样,也就就是饺子皮的总面积就是常数;
每个饺子都就是皮刚好把馅包起来,不多也不少;
四、问题处理
时对应的情况就是:表面积为,体积为的一个球体;在一般情况下对应的情况则为:表面积为,体积为的个球体。



个小球体,表面积体积
=1时,大球体,表面积体积

=1时的大球体,此时有:
,
个小球体时,此时有:
,
此时则有:
,

由上式可以得到结论,球体个数少,即值越小,所有球体的体积与最大。所以题目中的问题答案就是应该包大一点,那样才可以把馅用完。
以上所做工作都就是定性分析,得出来应该把饺子包大一些的定性结论,那么到底应该包大多少,具体由应该怎么来描述“变大”的饺子?要想得到问题的答案,接下来就需要对问题进行定量分析。根据前面的想法,可以用饺子的个数也即小球体的个数来定量的表观饺子的大小。那么可以记所有球体的总体积为函数值,就可以通过以上分析得到

与之间的函数关系:

其中可以认为为常数,因为为所有球体的总体积,对应实际问题中的表面积与所有饺子皮面积相等的球体,就是一个固定不变的值。
依题意有:
又可知多出kg馅后,对应的数学关系为:

解方程可得:
则联系实际问题,值越小越好,且应为正整数,所以取=51 。所以原问题的解决方案就是:把饺子包大,平且包成51个可以刚好用完所有馅。
五、问题拓展
日常生活常识告诉我们,把100个饺子包成51个饺子,那么那51个饺子将几乎跟包子一样了。因此很有必要对模型进行一定

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上传人:龙的传人 2021/2/25 文件大小:244 KB

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