文档介绍：数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型
一、实验目的
1、学****用Mathematica求常微分方程的解析解与数值解,并进行定性分析;
2、学****用MATLAB求常微分方程的解析解与数值解,并进行定性分析。
二、实验材料
2、1问题
图3、3、1就是著名的洛仑兹(E、N、Lorenz)混沌吸引子,洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标,好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹就是学数学出身的,1948年起在美国麻省理工学院(MIT)作动力气象学博士后工作,1963年她在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》就是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类:1)发散轨道;2)不动点;3)极限环 ;4)极限环面。除此以外,大概没有新的运动类型了,这就是人们的一种主观猜测,谁也没有给出证明。事实上这种想法就是非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型,就就是著名的Lorenz模型,清楚地展示了一种新型运动体制:混沌运动,轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如,数据加密中。我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？
图3、3、1 洛仑兹(E、N、Lorenz)混沌吸引子
假设狐狸与兔子共同生活在同一个有限区域内,有足够多的食物供兔子享用,而狐狸仅以兔子为食物、x为兔子数量,y表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下,兔子增长率为400％。如果没有兔子,狐狸将被饿死,死亡率为90％。狐狸与兔子相互作用的关系就是,狐狸的存在使兔子受到威胁,且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大,设增长的减小与狐狸总数成正比,比例系数为0、02。而兔子的存在又为狐狸提供食物,设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比,设比例系数为0、001。建立数学模型,并说明这个简单的生态系统就是如何变化的。
2、2预备知识
1、求解常微分方程的Euler折线法
求初值问题
(12、1)
在区间上的数值解,并在区间插入了结点。由导数的定义
,即微商。(右端称为差商)从而可在每个结点上用差商来近似替代导数,将微分方程转化为代数方程组(此处的代数方程组常称为差分方程)
,
加上初值条件则可确定一组解。求解这一差分方程即可得到微分方程初值问题的数值解。变形上述方程有
,
记,,从而,则有

这就就是求解微分方程初值问题的欧拉(Euler)折线法。之所以称为欧拉折线法就是因为:就几何角度而言,所求得的近似解就是初值问题精确解的折线逼近,而且此折线的起点就是初值条件所对应的点。
2、微分方程的Mathematica求解
(1)求解命令
有两个命令:DSolve[ ]与NDSolve。命令格式分别为
DSolve[方程,y,x]
NDSolve［方程,y,｛x,xl,x2｝］。
其中方程必须为微分方程及相应初始条件,｛x,xl,x2｝说明要给出数值解的范围为区间［x1,x2］。
(2)使用的注意事项
①方程中的函数应写成完整形式y[x],以表明y就