文档介绍：2015年中考冲刺——黄老（个性化辅导资料）——相似综合
1.（13年北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。
解析：【解析】（1）
（2）为等边三角形
证明连接、、
∵线段绕点逆时针旋转得到线段
则，
又∵
∴
且为等边三角形.
在与中
∴≌（SSS）
∴
∵
∴
在与中
∴≌（AAS）
∴
∴为等边三角形
（3）∵，
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
∴
∵
∴
而
∴
2、（•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．
（1）求证：四边形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．
解答：
（1）证明：∵点A、F关于BD对称，
∴AD=DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=∠EDF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠GAF=45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∵M，N分别是BG，DF的中点，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四边形EMCN是矩形；
（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，
即CD2+2CD﹣15=0，
解得CD=3，CD=﹣5（舍去），
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2，
∵N是DF的中点，
∴EN=DN=DF=×2=1，
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，
∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．
3、(年武汉)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即．
（3）．
4、（•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
解答：
（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF与△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．
（2）解：①该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴，
∴AE=EC，则AE=AC=a，
∴t==a．
则CM=1•t=a=CD，
∴点M为边CD的三等分点．
②能．理由如下：
易证AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．
易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．
若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I）若FN=MN，