文档介绍：第五章 相关和回归
§1 引言
所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X和文盲率Y之间的关系等等。在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。
相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。
在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X和变量Y之间的相关性。
度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。
()
对于样本，，……，来说，Pearson相关系数为
()
如果在这个样本中的n个观察值独立，则r是的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r是的ML估计。
为了检验，，可以选取统计量
结论：Pearson相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman秩相关系数和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。
§2 两个样本的相关分析
等级相关
等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景
基本方法
两个样本X、Y，其观察数据可以配对为，，……，。将排序后评秩，其秩记作U，与相对应的秩为；同样，排序后评秩，秩记作V，与相对应的秩为。这样得到的n对秩，，…，可能每一对完全相等，也可能不等。由于每一样本都是n个数据评秩，因此与的取值都是从1到n。X、Y的秩可能完全一致，即对于所有的
i来说，有＝，表5—1是完全一致的评秩结果。X、Y的秩可能完全相反，表5—2是完全相反的评秩结果。如果X、Y完全相关，应该对于所有的i有＝，即—＝0。因此，与之差可以用来度量X、Y的相关程度。定义
表5-1 完全一致的评秩
X的秩
Y的秩
1
1
2
2
…
…
n－1
n－1
n
n
表5-2 完全相反的评秩
X的秩
Y的秩
1
n
2
n－1
…
…
n－1
2
n
1
则两组秩完全相关时，（i＝1，2，…，n）应该为零。越大，X、Y之间的相关越不完全。但由于可正可负，直接用测度相关，会出现正负抵消，而不能真实反映与差值的大小，所以宜采用，即
()
（）式的这个秩差值平方和的大小既受到n的多少的影响，又受到两组秩不一致程度的影响，因此，采用相对的测量指标有利于说明X、Y的相关程度。因为的最大值反映X、Y完全不相关的情况，所以，用（）式除以的最大值，可用来评价X、Y之间秩的差值是否与完全不相关时接近。若实际计算的与X、Y完全不相关情况下的接近，那么两个样本的相关程度较低，若实际计算的与最大值的比越小，则两个样本的相关程度越高。的最大值即X、Y间完全不相关情况下的秩差值平方和，可以根据表5—2所列的数据计算。因为这是X、Y完全不相关的评秩结果。的最大值为
()
（）式的中括号内最后一项，当n为奇数时是22；n为偶数时是12。
（）式除以（）式得到
()
（）式的取值从0到1。根据表5-1中的数据计算（）式值为0，表5-2中的数据计算的（）式值为1，即X、Y的秩完全一致时，（）式的值为0，X、Y的秩完全不一致时，（）式的值为1。
测度两个样本等级相关程度可以象参数方法一样，定义等级相关系数作为标准。斯皮尔曼的等级相关系数(Spearman coefficient of rank correlation)是测定两个样本相关强度的重要指标。其计算公式为
()
斯皮尔曼相关系数也写为，在有下标注以s是为表明这个相关系数r不是积矩相关的简单相关系数，而是等级相关的Spearman相关系数。
注：①由于（）式与（）式不同，所以，R的取值从一1到十1，表明X、Y完全相关，R＝十l为完全正相关，R＝一1为完全负相关。越接近于l，表明相关程度越高，反之，越接近于零，表明相关程度越低，R＝0为完全不相关。R＞0为正相关，R＜0为负相关。通常认为为相关程度较高。
②Spearman秩相关系数检验临界值查表可得，P198。
③存在打结时，Spearman统计量要