文档介绍：2012年各地中考数学压轴题详细解析(第41到第50题)
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26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
解答：
解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），
设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：
（0＜m＜n），解得，
∴所求直线的解析式为：y=x．
（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）．
如解答图1，连接O1Q．
∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：
O1Q==
又O1Q为小圆半径，即QO1=m，
∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ①
如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2﹣10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根，
解③得：x=5±，∵0＜m＜n，∴m=5﹣，n=5+．
∵O1（m，m），O2（n，n），
∴d=O1O2==8．
（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．
如解答图2，连接PQ．
由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2．
∵P（4，1），Q（1，4），
∴PQ==，又O1O2=8，
∴S1=PQ•O1O2=××8=；
又S2=（O2R+O1M）•MR=（n+m）（n﹣m）=；
∴==1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴，解得，
∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，
∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，
即（）2﹣4（）=1，化简得：8a2﹣10a+1=0，
解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，
∴不存在这样的抛物线．
【42. 2012六盘水】
25．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。
专题：代数几何综合题；压轴题。
分析：（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（2）如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；
（3）要点是利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算．
解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，
∴当t=s时，PQ∥BC