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理
论
文
班级:2011级通信工程(2)班
姓名:马海峰
学号:**********
指导老师:伍永峰
浅谈离散傅里叶变换的应用
【摘要】在数字信号处理中,分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法,它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换,它们之间是完成了一种域的变换,从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似,在离散时间系统中,也可以采用离散傅里叶变换,将时间域信号转换到频率域进行分析,这样,不但可以得到离散时间信号的频谱,而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
关键字:傅里叶变换离散傅里叶变换时域频域
【正文】
一、离散傅里叶变换的定义:
对于时间连续信号,可利用傅里叶变换获得其频谱函数;或由其频谱函数通过反变换得到原时间函数。用公式表示为

式中
二、离散傅里叶变换的性质:
(1)线性性:
对任意常数(),有
(2)奇偶虚实性:
DFT的反褶、平移:先把有限长序列周期延拓,再作相应反褶或平移,最后取主值区间的序列作为最终结果。
DFT有如下的奇偶虚实特性:
奇奇;偶偶;实偶实偶;实奇虚奇;
实(实偶) + j(实奇);实(实偶)·EXP(实奇)。
(3)反褶和共轭性:
时域
频域
反褶
反褶
共轭
共轭+反褶
共轭+反褶
共轭
(4)对偶性:
把离散谱序列当成时域序列进行DFT,结果是原时域序列反褶的N倍;
如果原序列具有偶对称性,则DFT结果是原时域序列的N倍。
时移性:。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。
(6)频移性:
(7)时域离散圆卷积定理:
圆卷积:周期均为N的序列与之间的圆卷积为
仍是n的序列,周期为N。
非周期序列之间只可能存在线卷积,不存在圆卷积;周期序列之间存在圆卷积,但不存在线卷积。
(8)频域离散圆卷积定理:
(9)时域离散圆相关定理:
周期为N的序列和的圆相关:
是n的序列,周期为N。
(10)。其中表示按k进行DFT运算。
帕斯瓦尔定理:
例:已知,求的8点和16点的DFT。
解:当时

当时

DFT总结:
DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的,它并不要求该序列具有周期性。
由DFT求出的离散谱是离散的周期函数,周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。
如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号,,则重建信号是离散的周期函数,周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。
经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔,或时域周期的倒数,为。
实序列的离散谱关于原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此,真正有用的频谱信息可以从0~范围获得,从低频到高频。
在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。
三、离散傅里叶变换的MATLAB实现
MATLAB 的Symbolic Math Toolbox 提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数Fourier()及Fourier()[4]。
fourier 变换
(1) F=fourier(f);
(2) F=fourier(v);
(3) F