文档介绍：普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座32)—不等式解法及应用
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通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;
①.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程;
②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系;
③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。
3二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组;
②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。
分析近几年的高考试题,本将主要考察不等式的解法,综合题多以与其他章节(如函数、数列等)交汇。从题型上来看,多以比较大小,解简单不等式以及线性规划等,解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。
预测2007年高考的命题趋势:
、对数、三角函数的考察函数的性质,解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现;
、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点,主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力;
、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题,特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势;
,要加强分类讨论思想的复习,学会分析引起分类讨论的原因,合理分类,不重不漏。
解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段,与“等式变形”并列的“不等式的变形”,是研究数学的基本手段之一。
高考试题中,对解不等式有较高的要求,近两年不等式知识占相当大的比例。
(1)同解不等式((1)与同解;
(2)与同解,与同解;
(3)与同解);
解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础,必须熟练掌握,灵活应用。
情况分别解之。
或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。
分式不等式的等价变形:>0f(x)·g(x)>0,≥0。
绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法:
①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般不等式;
②等价变形:
解绝对值不等式常用以下等价变形:
|x|<ax2<a2-a<x<a(a>0),
|x|>ax2>a2x>a或x<-a(a>0)。
一般地有:
|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x),
|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。
;
;
等,
(1)当时,;
(2)当时,。
(1)平面区域
一般地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。
说明:由于直线同侧的所有点的坐标代入,得到实数符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当时,通常把原点作为此特殊点。
(2)有关概念
引例:设,式中变量满足条件,求的最大值和最小值。
由题意,变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知,原点不在公共区域内,当时,,即点在直线:上,作一组平行于的直线:,,可知:当在的右上方时,直线上的点满足,即,而且,直线往右平移时,随之增大。
由图象可知,当直线经过点时,对应的最大,
当直线经过点时,对应的最小,所以,,。
在上述引例中,不等式组是一组对变量的约束条件,这组约束条件都是关于的一次不等式,所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式,叫目标函数。又由于是的一次解析式,所以又叫线性目标函数。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。
题型1:简单不等式的求解问题
例1.