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第2章-随机过程.pdf

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文档介绍

文档介绍:第 2 章随机过程






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本章要求:
 随机过程的基本概念和数字特征(均值、方差、相关
函数);
 平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的统计特

 随机过程通过线性系统
 高斯白噪声和带限白噪声
西安电子科技大学
随机过程的基本概念和统计特性

自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其
变化过程具有确定的形式,或者说具有必然的变化规律,用
数学语言来说,其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函
数来描述,这类过程称为确定性过程。例如,电容器通过电
阻放电时,电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性
函数。而另一类过程没有确定的变化形式,也就是说,每次
对它的测量结果没有一个确定的变化规律,用数学语言来说,
这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来
描述,这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子:
设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境
和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形(这也可以理解
为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测)。测试结
果将表明,尽管设备和测试条件相同,记录的n条曲线中找不
到两个完全相同的波形。这就是说,接收机输出的噪声电压随
时间的变化是不可预知的,因而它是一个随机过程。
由此我们给随机过程下一个更为严格的定义:设Sk(k=1,
是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形(称为样本
2, …)
函数或实现),记作xi(t),所有可能出现的结果的总体{x1(t),
, , 就构成一随机过程,记作 。简言之, 无
x2(t) …, xn(t) …} ξ(t)
穷多个样本函数的总体叫做随机过程,如图 2 - 1 所示。
图 2- 1样本函数的总体
显然,上例中接收机的输出噪声波形也可用图 2 - 1 表示。
我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机
试验,每次试验之后,ξ(t)取图 2 - 1 所示的样本空间中的某一
样本函数,至于是空间中哪一个样本,在进行观测前是无法
预知的,这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体
现在两个方面:其一,它是一个时间函数;其二,在固定的
某一观察时刻t1,全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变
化的随机变量。因此,我们又可以把随机过程看成依赖时间
参数的一族随机变量。可见,随机过程具有随机变量和时间
函数的特点。下面将会看到,在研究随机过程时正是利用了
这两个特点。

随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的
方法, 来描述它的统计特性。
设ξ(t)表示一个随机过程,在任意给定的时刻t1∈T, 其
取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以
用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小
于或等于某一数值x1的概率P[ξ(t1)≤x1],简记为F1(x1, t1),
即F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1] ( - 1)
式( - 1)称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。
如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在,即有
∂Fxt1( 11 ,)
= f1( xt 11 ,)
∂x1
则称f1(x1, t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然,随机过程的
一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个
孤立时刻的统计特性,而没有说明随机过程在不同时刻取值之
间的内在联系,为此需要进一步引入二维分布函数。
任给两个时刻t1, t2∈T,则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二
元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)},称
F2(x1,x2; t1,t2)=P{ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2} (