文档介绍：病态系统仿真实验报告
1实验题目
已知微分方程:
■-21
19
-20-
■ 1 ■
y =
19
-21
20
y,y(0)=
0
40
-40
-40
-1
判断其是否为病态方程，分别用定步长、变步长和适合病态系统的数值方法 对系统求解，并与解析解进行对比，分析每种方法的求解精度和收敛速度。
2实验原理
根据病态系统的定义：
线性方程组的雅克比矩阵为
—21 19 -20
J = 19 -21 20
40 -40 -40
应用matlab中的eig()函数可以求得，J的特征值依次为-,-+,-
- J的特征值全部具有负实部，且有
min(l Re I) « max(l Re I)，即 2«40.
R= max(l Re&. l)/min(l Re&. I) = 20
最大特征值的实部是最小特征值实部的20倍，呈现出病态特性，则可以判 断该系统为病态系统。
RK4方法，定步长求解系统
y«L+i - ym + h伍（蚯个2k: + 2ka + kJ
■ = f（5m）
h
L = + + WZl）
蜘=忠皿+ ?而+辨如) £t
- f(t» + h-ym + hka)
RK34算法，变步长求解
四阶五级公式：
ym^l = ym + h/6(l + 4k, + 蛆)
, . fjyq
蜘=f(H十当Fm十h/3k。
知=fg + 土 Ym + h/6(ki + 皈))
& = f(0 + |,ym + h/8(kt + 3吗))
蚓=fg + h,ym + h/2(kt - 3虬 + 4虹)}
三阶四级公式：
ym+l = y® + h/6(3kl - 9蛔 + 12虹)
误差：
Em ~ to. ~ Vm
步长策略：对分策略
% = E/3J + 1)
(站 > eTOM. h = h/2., recalculate
< »«< »m» h = h,go on
' <««= 2*h,go w
初始步长h=0. 001;
仿真终止条件： ab*(ymr - ym) < W
采用适合线性病态系统的蛙跳算法求解该系统。对于病态系统的仿真，利用
增广矩阵法可归结为计算矩阵指数e时的问题。蛙跳算法选择二阶派德逼近式来
近似 e",即 eAr «(Z--AT+ —A2T2r'-(/ + -AT + —A2T2) o 计算时前 m 步用 2 12 2 12
小步长t = 2mT ,后面每隔仃计算一次，具体如下：
x(2°T) = eATx(0)
x(21T) = eAr -eArx(O)
x(22T) = e2AT -e2ATx(0)
x(2mT) = x(qT)=产'皿『顷侦。)=eAqTx(O)
xQqT)=x(qT)
x(3qT) = eAqTx(2qT)
x(4qT) = eAqTx(3qT)
3仿真程序
RK4定步长方法：
A=[-21 19 -20; 19 -21 20; 40 -40 -40];
y0=[l;0;-l];
tfinal=2;
h=;
N=tfinal