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第六讲 立体几何新题型的解题技巧
【命题趋向】在 2007 年高考中立体几何命题有如下特点： 年高考中立体几何命题有如下特点 立体几何命题有如下特点： 在 ，将侧重于垂直关系 ，将侧重于垂直关系． 线面位置关系突出平行和垂直 空间“ 多面体中线面关系论证， 距离”的计算常在解答题中综合出现． ，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现 性质多在选择题，填空题出现． 多面体及简单多面体的概念、 、性质多在选择题，填空题出现 、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点 有关三棱柱 分之间， 个选择题， 个填空题， 个解答题. 此类题目分值一般在 1722 分之间，题型一般为 1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题 【考点***】(A)，对于异面直线的距离，只要求会 版 、直线和平面所成的角、直线和平面 、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. 版 ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直 空间距离和角是高考考查的重点 线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作 为命题的重点内容， 高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查， 分为多个 小问题， 档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证 明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂 足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例 1（2007 年福建卷理）如图，正三棱柱 ABC A1 B1C1 的所有棱长都为 2 ， D 为 CC1 中点． 年福建卷理） （ （Ⅰ）求证： AB1 ⊥平面 A1 BD ； （Ⅱ）求二面角 A A1 D B 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 A1BD 的距离． 考查目的： 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 B 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．
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A
A1
C
D
C1 B1
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解答过程：解法一： （Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ． 解答过程 ∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．
A F C O B D
A1
∵ 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ，
∴ AO ⊥ 平面 BCC1 B1 ．
C1 B1
连结 B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D 分别为
BC，CC1 的中点， ∴ B1O ⊥ BD ， ∴ AB1 ⊥ BD ．
在正方形 ABB1 A1 中， AB1 ⊥ A1 B ， ∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD ． （Ⅱ） AB1 与 A1 B 交于点 G ， 设 在平