文档介绍：. 反函数(第二课时) 教学目的: 会利用互为反函数的定义,函数图象间的关系及相关性质解决有关问题. 教学重点: 反函数性质的应用教学难点: 反函数性质的应用. 教学过程: 一、复习引入: ; )(xfy?与)( 1xfy ??间的关系: 定义域、值域互换,对应法则互逆,图象关于直线 y=x 对称; 逆命题成立:若两个函数的图象关于直线 y=x 对称,: 一解、二换、三注明二、例题: 23 85???x xy 的值域. 分析:用“函数思想”求值域,即由 y=f(x) 求出 x= (y) ?, 则使(y) ?有意义的 y值的集合为原来函数的值域. 解: ∵23 85???x xy ∴53 82???y yx ∴y≠3 5 ∴函数的值域为 5 5 ( , ) ( , ) 3 3 ?? ???)(xf = 21 1x?(x<-1) ,求)3 1( 1??f ; 解法 1:⑴令)(xf =y= 21 1x?,则 2x =y y1?,∵x<-1 ,∴x=-y y1?;且 y= 21 1x?<0 ∴)( 1xf ?=-x x1?(x<0);∴)3 1( 1??f =-2. 分析:由反函数的定义可知y=)(xf 与y=)( 1xf ?中,x,y互换,即y=)( 1xf ?中的 x为y=)(xf 中的 y,y=)( 1xf ?中的 y为y=)(xf 中的 x ,)3 1( 1??f ,即在函数)(xf =y= 21 1x?(x<-1) 中,当y=3 1?时,求x的值. 解法 2:令 21 1x?=3 1?,变形得 2x =1+3=4 ,又∵x<-1 ,∴x=-2. 例 y=)(xf 与它的反函数 y=)( 1xf ?的图象有交点,则交点必在直线 y=x 上. 证明: 若点(a,b) 是函数 y=)(xf 与它的反函数 y=)( 1xf ?的图象有交点, 则 b=f(a),b= 1 f (a) ?, 1 a f (b), a f (b) ??? ?. (1) 若a>b, 则a=f(b)>b=f(a), 即f(b)>f(a). ∵y=)(xf 是增函数, ∴b>a, 这与 a>b 矛盾, ∴a>b 不成立. (2)若 a<b, a=f(b)<b=f(a), 即f(b)<f(a). ∵y=)(xf 是增函数, ∴b<a, 这与 a>b 矛盾, ∴a<b 也不成立. 综( 1),(2)可得: a=b, 即交点(a,b) 在直线 y=x 上. 说明: 题中的 y=)(xf 是单调增函数的条件不可少,反例见课件. 由例 3的结论可知,若y=)(xf 是单调增函数,则方程 1 f (x) f (x) f (x) x. ?? ??利用这一点,可以帮助解决一类较复杂的方程问题,如方程 2 x 2 3x 2 3 ?? ?不易求解,这里, 2 y 3x 2(x [ , )) 3 ? ?????是单调增函数,且它的反