文档介绍：直线、圆的位置关系第1题. 直角 ABC △的斜边为定长 m ,以斜边的中点 O 为圆心作半径为定长 n 的圆, BC 的延长线交此圆于 P ,Q 两点,求证 2 2 2 AP AQ PQ ? ?为定值. 答案: 证明:如图,以 O 为原点,分别以直线 AB 为x 轴,建立直角坐标系. 于是有( , 0) B m ?, ( , 0) C m , ( , 0) P n ?, ( , 0) Q n . 设( , ) A x y ,由已知,点 A 在圆 2 2 2 x y m ? ?上. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 AP AQ PQ x n y x n y n ? ???????? 2 2 2 2 2 2 2 6 2 6 x y n m n ? ????(定值). 第2题. 自原点 O 作圆 2 2 ( 1) 1 x y ? ??的不重合两弦 OA , OB ,若 OA OB k ??( 定值), 那么不论 A ,B 两点位置怎样,直线 AB 恒切于一个定圆,并求出定圆方程. 答案: 解:设 A ,B 两点坐标分别为 1 1 ( ) x y , , 2 2 ( ) x y , , 则 2 2 2 2 1 1 2 2 OA OB x y x y ? ? ?? ? 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) x x x x ? ???? ??????? ???? 1 2 4 x x k ? ?. 2 1 24 k x x ?∴. yx ABP O CQ 设直线 AB 的方程为 y mx b ? ?,代入已知圆的方程并整理, 得 2 2 2 (1 ) 2( 1) 0 m x mb x b ? ????. 由韦达定理,得 2 1 2 21 b x x m ??, 2 2 2 1 4 b k m ??∴. ∵原点 O 到直线 0 mx y b ? ??的距离为 21 bm?, 2 2 22 1 4 b k rm ? ??∴(定值).∴直线 AB 恒切于定圆 2 2 2 4 k x y ? ?. 第3题. 已知点( )( 0) M a b ab ?, 是圆 2 2 2 x y r ? ?内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所在的直线,直线 l 的方程是 2 ax by r ? ?,那么( ) A. m l ∥且l 与圆相交 B. l m ?且l 与圆相交 C. m l ∥且l 与圆相离 D. l m ?且l 与圆相离答案: C. 第4题. 已知圆满足:①截y 轴所得弦长为 2 ;②被x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3 1 ∶. 在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线 2 0 l x y ? ?∶的距离最小的圆方程. 答案: 解法 1: 设圆心为( ) P a b , , 半径为 r ,则P 点到 x 轴,y 轴的距离分别是 b 和a . 由题设知圆 P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为 90t ,故圆 P 截x 轴所得弦长为 2r , 2 2 2 r b ?∴. 又圆 P 截y 轴所得弦长为 2 , 2 2 1 r a ? ?∴. 从而 2 2 2 1 b a ? ?.又( ) P a b ∵, 到直线 l 的距离为 25 a b d ??, 2 2 2 2 5 2 4 4 d a b a b ab ? ????∴ 2 2 2 2 2 2 4 2( ) 2 1 a b a b b a ? ?????≥. 当且仅当 a b ?时取等号,此时 min55 d?. 这时有 2 2 11 2 1 a b ab b a ?????? ??? ???或11 ab ???????. 由 2 2 2 r b ?得22r?. 故所求圆的方