例说运用类比思想解题.doc

文档介绍：例说运用类比思想解题
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　　在解答数学问题时，闪光的数学思想往往会萌生巧妙的解题思路，使解题独具匠心，美仑美奂，让人受益匪浅． 本文运用类比思想破解几道例题，期望广大同人重视数学思想在解题中的作用，促使学生开阔视野，提高解题能力．
　　例1：已知a，b∈R+，且a+b＝1，求证：（a+）•（b+）≥．
　　分析：本题有诸多证法，但是从a，b的对等关系切入，利用类比思想证明，思路简洁明晰． 由条件a，b∈R+，且a+b＝1，容易估猜不等式中等号成立的条件为a=b=． 构造：a+=a++++≥5＞0． 因为a，b具有对等关系，字母a具有的特性b亦具备，所以有：b+≥5＞0． 相乘得：（a+）（b+）≥25． 注意到ab≤（）2＝，则≥4． 故（a+）（b+）≥25＝（当且仅当
a＝b＝时取“=”号）．
　　这种方法，用于破解具有对等数量关系的数学问题非常有效． 运用类比思想破解一类解析几何问题，可以有效地减少运算量．
　　例2：如图1，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4+4，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D． （1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1•k2=1；（3）是否存在常数λ，使得AB+CD=λAB•CD恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
　　 分析：容易得到椭圆方程+＝1，双曲线方程x2-y2＝4，并获得（2）的证明，难点是第（3）小题，如果分别求得AB，CD，再进行运算，过程烦琐，难以到达成功的彼岸．运用类比思想则可以插上腾飞的翅膀．
　　设lPF1：y＝k1（x+2），代入+＝1，化简得（2k21+1）x2-8k21x+8k21-8=0，显然2k21+1＞0，Δ＞0． 由韦达定理知x1+x2=，x1x2=，所以AB=•＝4，因此＝.直线PF2与PF1只是斜率不同. 欲求CD无需重复上面的过程，即可知＝，因为k1k2=1，只需以置换左式中的k2，即得＝． 所以+=，故存在λ＝，使得
AB+CD=λAB•CD恒成立． 多么明了的推理，多么简洁的过程．
　　例3：过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，求证：直线AB过定点．
　　分析：由题意知直线OA，OB的斜率互为负倒数，设lOA：y=kx代入y2=2px，求得A点坐标为（，），将lOB代入y2=2px求B点坐标时，只有斜率发生变化，因此只需