文档介绍：§
定义8(相似矩阵) 对于An× n , B n × n , 若存在可逆矩阵 P n × n , 线
使得P−1 AP= B, 则称 A 与 B 相似 , 或 A 相似于 B , 记为 A ~ B ,
并称由A→ P−1 AP = B 的变换为相似变换, P 为此相似变 性
换的矩阵.
代
•如果A 与一个对角矩阵相似, 则称 A 可相似对角化 , 简称
为A可对角化. 数
本节的两个注意问题 : (1)方阵可对角化的条件;
(2)如果方阵A 会对角化 , 即存在可逆矩阵 P 及对角 =
矩阵D, 使得 P−1 AP= D , 那么 , 如何求矩阵 P 和 D呢 ? =
•相似矩阵的简单性质:
(1)反身性 :A ~ A ( I−1 AI= A )
(2)对称性 : 若A ~ B , 则 B ~ A ( 若存在可逆矩阵 P , 使 线
得P−1 AP= B, 则有 ( P − 1 ) − 1 B ( P − 1 ) = A , 故 B A )
: 性
(3)传递性 : 若A ~ B , B ~ C, 则 A ~ C,( 若存在可逆矩
阵P,Q, 使得 P-1AP= B , Q− 1 BQ = C , 则 Q -1 P -1 APQ = C , 代
即(PQ )−1 A ( PQ )= C ).
定理定理55 (方阵相似的几个必要条件 ) 设方阵 数
A与 B 相似, 则
=
(1) A= B ;
(2) r ( A )= r ( B ) =
特别当A 与 B 都为可逆矩阵时, 有 A−1 与 B − 1 相似 );
1 1 1 0
•定理5 的逆命题不真 , 例如A = 与 I = .
0 1 0 1
有 A= I =1, r ( A ) = r ( I ) = 2,
线
λ −1 − 1
λI− A = =( λ − 1)2 = λ I − I ,
0λ − 1
性
但A 不与 I 相似, 因为与单位矩阵 I 相似的矩阵只能是单位矩阵 :
−1 − 1
即若存在可逆矩阵P 使得 P AP= I, 则 A = PIP = I 代
这与A≠ I 发生矛盾, 故 A 不与 I 相似 .
由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得 数
推论 若n阶矩阵A与对角阵
λ1 =
λ
A = 2
相似 则 是 的 特征值 =
O ,λ1 , λ 2 ,L , λn A n .
λn
定理定理6 6 (方阵可对角化的充要条件 )
n阶方阵 A 可对角化⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量.
证明:"⇒ ", 设A 可对角化 , 即存在可逆矩阵 P 使得 线
λ
1 性
λ
P−1 AP= 2 记为 D (*)