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！！！觯瑀’●基于符号数值混合计算的混成系统函数构造敏杨争峰曾振柄林望吴引言，，间而连续变化，又受事件而离散驱动．混成系统有很多应用实例，如汽车计算机控制系统、数方法，即通过构造并分析函数的性质来判定混成系统的稳定性．虽然该方法具甋．甋主题分类号混成系统是一类既包含连续动态行为又包含离散动态行为的系统，其动力学行为既随时飞行器控制系统、复杂工业控制系统等，对于混成系统，稳定性分析是其首要问题，一个不稳定的系统是无法正常工作的．混成系统稳定性分析主要是运用李雅普诺夫函有直接而简明的优点，但对于一般的混成系统，即使是线性混成系统，如何构造函数尚无通用且有效的方法．系统科学与数学轮荽笱в胄畔⒖蒲аг海上海6Ψ洞笱虾Ｊ懈呖尚偶扑阒氐闶笛槭遥摘要基于平方和松弛和有理向量恢复，提出了一种符号数值混合计算方法来构造多项式函数以判定非线性混成系统的稳定性．首先，为函数预定一个给定次数的多项式模板，则函数构造问题可转化为相应的带参数的多项式优化问题，然后运用平方和松弛方法求得一个近似的数值多项式函数，再应用高斯．牛顿精化和有理向量恢复将数值多项式转化为验证的有理多项式函数．关键词混成系统，函数，平方和松弛，半正定规划易匀豢蒲Щ鹣钅，，，项目，浙江省教育厅科研项目，华东师范大学创新基金项目．温州；华东师范大学上海市高可信计算重点实验室，收稿日期：——，收到修改稿日期：——．
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斐上低秤胛榷ㄐ梯度算法等来有效构造函数üü睱投函数淙皇导扑惴椒ň哂兴俣瓤旌褪视梅段Ч愕忍氐悖芾刍蟛钣跋而精度不够，所求得的结果可能存在偏差．因此，本文结合符号计算的准确性和数值计算毫，，则称Ｎ8孟低车钠胶獾悖捎谌我黄胶獾憔赏ü揭票浠缓笞;A愕悖因此，不失一般性，我们总可假设零点为系统钠胶獾悖磍非线性系统平衡点的稳定性可采用李雅普诺夫稳定性进行分析．如果对任≤￡堋辏，零点附近，那么零点是稳定的；若任何初始条件在零点附近的轨迹最终都趋于零点，则零点，，近来，混成系统函数构造问题，已得到了广泛的研究⑷〉昧艘恍┲要结果．这些结果运用一些数值计算方法，如半定规划方法、的高效性，提出了一种符号数值混合计算方法来构造混成系统的函数．首先，我们将函数表示成一个给定次数的参数多项式，并根据函数的条件，将函数构造问题转化为一个带参数的多项式优化问题，然后运用平方和松弛和有理向量恢复来得到验证的函数．本节，我们将给出混成系统与稳定性的一些概念．下文中，向量总假设为列向量的形式．考察非线性自治系统其中蔙”为状态向量，，：币籖A模衣鉒条件．若Ｂ意给定的￡，均存在，使得当任一满足时，系统愠跏继跫墓旒Ｗ￡砸磺衪≥则称零点是稳定的．若进一步还满足则称零点是渐近稳定的【．也就是说，如果系统任何初始条件在零点附近的轨迹均能维持在是渐近稳定的．根据稳定性理论，对于系统绻嬖谝涣晌⒑齳诹愕愕牧域妒上满足矿畓堋＃林望等：基于符号数值混合计算的混成系统函数构造粄
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矿甏，馈蔢瑉∈假设，￡：矽∥A模衣鉒条件．同样地，假定零点为混成系统的琗瑉。蔙“，连续状态变量集；。琺∈肷⒆刺蛭恢丁，为离散变迁关系集．任一下∈伤脑W珿，，琭，琭离散变迁发生时的连续变量重置函数．当系统处于恢茫襷∈时，系统将离散变付ㄔ诿扛隼肷⒆刺琭的映射，用微分方程毫硎荆渲惺＃琗，，⋯，．当系统处于恢茫易隆时，系统连续状态ǜ微分方程毫琧进行演变，且离散状态３植槐洌试拢篻，，琭∈：瑉≥，∈篽≥琕蔐瑉，茁，唬琻瑃，，⋯，。，瑃，蔔．对于混成系统圩，我们可运用下述定理来判定其零点的稳定性，∈￡＼则称零点是稳定的．进一步，如果矿㈤琕∞∈辏躿，蔐，则零点是渐近稳定的．我们称满足定理刑跫膟;斐上低橙盏墓ü睱欢杂谝般的混成系统，要使得所有离散位置都存在一公共函数是非常困难的．此时，可则零点是稳定的．如果，则零点是渐近稳定的．我们称满足上述条件的茁O统腖齕．本文旨在通过构造函数来判定混成系统的稳定性．混成系统一般用如下混成自动机表示【．定义桓龌斐勺远捎昧W槿眨琇，，丁，瑇硎荆渲∈跏祭肷⑽恢茫表示，其中始海籆，蔽与实睦肷⒈淝ㄌ跫，畓一蔙”：蔯，为迁至位置，同时连续状态璕瑉重置后变为；硎敬永肷⒆刺疞到连续状态空间的子集间的映射．对任一蔐，称始为位置不变集平衡点，即，．并记始，蔯，其中，，·一，，定理ɑ斐上低矵，如果存在连续可微函数满足如下条件：，运用下述多函数方法来判定该类混成系统的稳定性．统科学与数学卷系瑉
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’篆。，：鲁琕。躼。≥‘弋二∈＃！蔐，坼甏，哪篮鹛鬖脚叭叭奶轞函数的构造定理ɑ斐上低橙眨匀我獾膌∈绻嬖诹晌⒑满足如下条件∈躿，Ⅵ，一Ⅵ≤∈，∈琹，∈则称零点是稳定的．进一步，如果扔琕蕏躿，蔐，则零点是渐近稳定的．琱，及都为多项式向量，可利用基于半正定规划钠椒胶如上所述，判定混成系统稳定性的关键是要构造函数颌