文档介绍：平行四边形典型例题
1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．
求证：四边形AECF是平行四边形
错证：在△AOE和△COF中
∵OE⊥AD，OF⊥BC  ∴∠AEO=∠CFO=90°
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA＝OC，AD∥BC   ∴∠EAC＝∠ACF
∴△AOE≌△COF（AAS）   ∴OF=OE
∴四边形AECF是平行四边形
错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．
正确证明：在△AOE和△COF中
∵OE⊥AD  OF⊥BC  ∴∠AEO＝∠CFO＝90°
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA＝OC，AD∥BC   ∴∠EAC=∠ACF
∴△AOE≌△COF（AAS）  ∴OF＝OE
又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC
∴E、O、F三点共线
∴四边形AECF是平行四边形
2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．
分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．
解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．
证明：在Rt△ABC中  ∵AC＝BC  ∴∠B=45°
又∵E、D分别为AC、BC的中点
∴EC＝DC  ∴∠CED＝∠CDE＝45°
∴∠AEF＝∠CED＝45°  ∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°
∴F、E、D在一条直线上  ∵∠EAF＝∠C＝90°  ∴AF∥CD
又∵AF＝CD＝DB  ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°
3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．
分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．
证明方法（一）
在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．
∴△ABF≌△CDE  ∴AF＝CE
同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形
方法（二）
连AC交BD于O
在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD
∵BF＝DE  ∴OE=OF  ∴四边形AECF为平行四边形
4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？
分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．
解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．
如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平