文档介绍：矩阵分析与应用
第十讲矩阵分析及其应用之一
信息与通信工程学院
吕旌阳
本讲主要内容
 矩阵序列
 矩阵级数
 矩阵函数
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引言：
一元多项式 m
f( t )  c0  c 1 t   cm t
矩阵多项式 m n n
f( A ) c0 I  c 1 A   cm A , (  A  C )
 f( A )以矩阵为自变量且取值为矩阵的一类函数
本章研究一般的以矩阵为自变量且取值为矩阵的函数
——矩阵函数
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一、敛散性
定义：将矩阵序列 A(k ) a ( k ) ,记作A(k )
 ij m n
(k ) (k)
当 limaij a ij (  i , j ) 时，称矩阵序列{A }收敛于
k
矩阵A=(aij)。记作
lim A(k )  A ，或者 A(k )  A k  
k  
(k ) A(k )
若数列 aij  之一发散，称   发散
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性质：
(k ) ( k )
(1) 若 limA Am n , lim B  B m  n 则
k k 
lim(aA(k ) bB ( k ) )  aA  bB ,  a , b
k
(k ) ( k )
(2) 若 limA Am n , lim B  B n  l 则
k k 
lim(A(k ) B ( k ) )  AB
k
(k )
(3) 若 (k ) 与 A 是可逆矩阵，且 lim A A ，则
A k
lim(A(k ) ) 1 A  1
k
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定理1：设 A(k ) , A C m n ，则
(k )
（1）limA(k )  0  , limA  0
k k
(k )
（2）lim A(k )  A  ,limA  A  0
k k
证明：(1)考虑F -矩阵范数
(k ) (k )
limA  0 limaij  0 ( all i , j )
k k
m n 2
(k )
limaij  0
k 
i1 j  1
limA(k )  0
k F
(2)由 limA(k ) A  lim( A ( k )  A ) 