文档介绍：数学建模入门?主讲人:胡善炜主要知识点: 1、模型:对于事物的一种简单及代表性的概括,包括实物文字等。 2、数学模型:对于一个实际问题按其内在规律,进行一些合理的、必要的假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构。 3、数学建模:通过数学的分析与计算,求解此数学结构所得结果能成功解决原实际问题的过程为数学建模。 4、建立数学模型的主要步骤: 1)分析实际问题 2)模型假设 3)建立数学模型 4)模型求解 5)模型验证贷款买房方案的选择?如有一家庭,为了买房需要向银行贷款 10 万元,已知利率是按月计算,且为复利率。月利率为 ,贷款期限为 25 年。问这个家庭每月平均要向银行交款多少?一共付给银行多少钱? 如果 25 年后再开始还款,那时应付给银行多少钱? ?复利率:每年(或每月)都结算一次利息,然后把本金和利息之和作为下一年的本金,即到下一年结算利息时就用这个数字作为本金。 1、分析实际问题; 2、模型假设; 假设 1: 25 年内银行的利率保持不变。假设 2: 25 内该家庭始终具有还款能力,且不提前还清贷款。 3、用字母表示待求的未知量; 贷款额 M 0 =10 万元,贷款期限 t=25 年=300 个月,月利率 R= ,N 表示贷款后的第 N 个月,M N 为第 N 个月末尚欠银行的钱数, x 表示平均每月向银行还款的钱数。这里 x为因变量, N为自变量。 4、模型建立; M 0 =100000 (1) 则M 1= M 0 (1+R)-x (2) M 2= M 1 (1+R)-x (3) ……第N个月后尚欠银行的钱数为 M N= M N-1 (1+R)-x (4)其中 N=1,2,3, ……,300 这就是该家庭各月前银行钱数的数学模型 5、进行模型求解; 将( 1)、( 2)、( 3)带入( 4),求出 x= 元这样,一共付给银行数为 300 × x=315966 元如果一直等到 25 年以后再开始还贷款,那么应还钱数为 M 0 (1+R )300 ≈ M 0 _ = 元当年借了 10 万元, 25 年后就变成了 万元。 2、生产决策某厂生产某机器,决策者可选择生产 10 , 20 , 30 台,实际需求 10 台的概率为 p= ,需求 20 台的概率为 p= ,需求 30 台的概率为 p= ,又卖一台获利 10 万元,滞销一台损失 2 万元, 问如何生产?并画出决策树。解: E(A)=10 × 10 × +10 × 10 × +10 × 10 × =100 E(B)=[10 × 10+ ( 20-10) × (-2)] × +20 × 10 × +20 × 10 × =140 E(C)=[10 × 10+(30-10) × (-2)] × +[20 × 10+(30-20) × (- 2)] × +30 × 10 × =144 选择生产 30 台 3、某市要投资一个项目,有 3个方案可供选用: (1 )一次投资到位,需要资金 亿元。根据测算, 该项目产品如果销售好,每年可获利 2 千万元;如果销售差,每年将亏损 千万元,项目的服务期 20 年。(2)a 、二次投资,先投资 千万元,如果第一次投资产品销售好,每年可获利 千万元,销售差时, 每年可获利 千万元,如果销售好时,六年后扩大项目规模,追加投资 8 千万元;扩大规模后,每年获利 千万元,扩建后的服务期是 14 年。 b 、仅仅小规模投资 千万元,服务期 20 年。根据市场预测,该项目上马后,产品 20 年内销售好的概率为 ,销售不好的概率为 。请选择最优决策方案。一、模型假设二、决策树三、模型求解 E(A)=2 × 20 × +(-) × 20 × -14=11 E(D)= ×6× + × 14-(+8)= E(F)= × 20 × + × 20 × -=9 选择方案( 2)。决策模型决策按照方案和条件可分类为: ?1、确定型决策?当状态只有一种时的决策问题是确定型决策?2、风险型决策?当未来条件不完全确定,但这些状态的概率已知, 这种条件下所做的决策具有一定的风险性,所以此类决策称为风险型决策。?3、不确定型决策?在未来情况和条件不完全清楚、又无法估计其出现的概率,在此情况下所进行的决策为不确定型决策。对于风险型决策一般用下列三种方法解决: