文档介绍：*
第二章 线性分组码 （n,k）码
一. 定义：通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n重的码字（n>k)。由 个信息码组所编成的 码字集合，称为线性分组码。
信道编码
m
C
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例：（7，3）码（系统码）
m=[m2 m1 m0]
C=[C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0]
规则：
或：
*
写成矩阵形式：
依此类推，
得到（n,k)码的监督方程组：
可见：
对H进行初等变换得到 H=[Q Ir ]为监督矩阵的标准形式，说明了相应的监督元是由哪些信息元决定。
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二、汉明距离和汉明重量：
（n,k）码的封闭性：任意两个码字的和仍为这个码组中的元素；
任意两个码字之间的距离d
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
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码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中，任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。
码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。
码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的最小值，称为码的最小重量，表示为：
线性分组码的最小距离等于它的最小重量
线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为：
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三、（n,k）码的监督矩阵H和生成矩阵G
1. 监督矩阵（也称校验矩阵）
r=n-k
H 阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性无关的，即要求H阵的秩为r。
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2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
H阵的秩=n-k=r。由线性方程组的定理可知，它有基础解系，线性方程组的任意解都是基础解系的线性表示。求基础解系的方法是令：
代入方程组得到k个线性无关的解，将它们写成矩阵的形式为：
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可见，用标准生成矩阵G编成的码字为前面k位为信息数字，后面r=n-k位为校验数字。
所以，系统码的结构：
信息元
校验元
称为线性系统分组码。
例题
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由于G的每行都是一个码字，所以G的每行都满足
则有：
或：
所以G和H彼此正交
结论：G和H之间是可以互换的
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四、H矩阵的性质
定理：码的构造与dmin有关，即如果一个（n,k）码的最小距离是dmin，H中至少有一组dmin列线性相关，任意<=dmin-1列线性无关。反之亦然。
定理：（n,k）码的最小距离为dmin的充要条件是H中有dmin-1列线性无关。