文档介绍：第4章矩阵的特征值§: 设有 n 维向量令[x, y] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x ny n, 则称[x, y ] 为向量 x和y的内积. 说明: ?内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数. ?内积可用矩阵乘法表示:当 x和 y 都是列向量时, [x, y ] = x T y 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y ? ? ??? ? ??? ? ??? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ??? 12 1 2 , , , nnyy x x x y ? ?? ?? ??? ?? ?? ??? 1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x y x ? ???? ??????[x, y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x ny n = x Ty. 内积具有下列性质(其中 x, y, z为 n 维向量, ??为实数): ?对称性: [x, y ] = [ y, x]. [x, y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x ny n = x Ty. 内积具有下列性质(其中 x, y, z为 n 维向量, ??为实数): ?对称性: [x, y ] = [ y, x]. ?线性性质: [?x, y ] = ?[x, y]. [x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ] [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T x y x y x y x y x y ? ????? ?????[ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z ? ??????????[x, y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x ny n = x Ty. 内积具有下列性质(其中 x, y, z为 n 维向量, ??为实数): ?对称性: [x, y ] = [ y, x]. ?线性性质: [?x, y ] = ?[x, y]. [x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ] ?当x = 0 (零向量) 时, [x, x ] = 0 ; 当x ≠0(零向量) 时, [x, x ] ? 0. [x, x ] = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2≥ 0 [x, y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x ny n = x Ty. 内积具有下列性质(其中 x, y, z为 n 维向量, ??为实数): ?对称性: [x, y ] = [ y, x]. ?线性性质: [?x, y ] = ?[x, y]. [x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ] ?当x = 0 (零向量) 时, [x, x ] = 0 ; 当x ≠0(零向量) 时, [x, x ] ? 0. ?施瓦兹( Schwarz )不等式[x, y] 2 ≤[x, x ] [y, y]. 2 2 1 1 1 | | n n n i i i i i i i x y x y ? ??? ?? ??练****求 1 [([ , ] [ , ] ), 3 ] 3 ????????回顾:线段的长度 2 2 1 2 | | [ , ] OP x x x x ? ?? x 1x 2x 1x 2x 3 P(x 1, x 2)OPO 若令 x = ( x 1, x 2) T,则 2 2 2 1 2 3 | | [ , ] OP x x x