文档介绍：第三篇代数系统信息科学与工程学院王新红 18371123@ 代数系统简介?人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程,往往要借助于一些数学工具。这些现象或过程,就是我们的研究对象。描述时,需要建立适当的模型。从物理学角度考虑,就是建立该模型的运动方程(这通常由微分方程表述, 反映的是研究对象的运动规律)。从数学角度考虑,需要建立合适的数学描述语言,或适当的数学结构,可以较为准确地描述研究对象。 18371123@ 代数系统简介?合适的数学结构相当重要。在微积分中,可以用导数描述质点运动的速度,可以用定积分来计算面积、体积等;在代数学中,可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数,用集合之间的“交”、“并”运算来描述人和人之间的关系等。 18371123@ 代数系统简介?我们要研究的是一类特殊的数学结构──由集合上定义若干个运算而组成的系统。称为代数系统。 18371123@ 代数系统简介?代数系统的一般形式是:( A, f 1, f 2, …, f n)。其中 A是一个非空集合, f 1, f 2, …, f n是定义在 A 上的运算( close )。 f i可以是一元运算( unitary operation )、二元运算( binary operation )、三元运算等,即 n-元运算( n- nary operation )。 18371123@ 代数系统简介?我们将要讨论的数学结构包括: 群( group , 涉及到对称性, symmetry )、环( ring )和域( field )、格( lattice ,涉及到布尔代数, Boolean algebra )。?实际上,我们已学过一些代数结构,如:<N, +>, <R, {-, +, –, ?}>等。 N: set of natural number, R: set of real number, -: negation. 18371123@ 代数系统?代数系统的运算(运算表)和性质?代数系统之间的关系:同态和同构?典型的代数系统: ?广群,半群,含幺半群(独异点),群, ?环与域?布尔代数 18371123@ 框架 18371123@ 引言?代数系统---- 由集合上定义若干运算而组成的系统: ?{原子命题}+5 个联结词?{二元关系}+关系的并、交、补、差+关系复合、关系的逆、关系的闭包?代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统?这些代数系统中的运算又具有某些性质,从而确定了这些代数系统的数学结构。 18371123@ 第五章代数结构?代数系统的引入?运算及其性质?具有一个二元运算的代数系统?半群?群?同态与同构---两个同型代数系统之间的联系?具有两个二元运算的代数系统?环?域