第1章--矩阵运算与矩阵分解-3.pdf

文档介绍：矩阵论与数值分析
第一章
矩阵运算与矩阵分解
矩阵论与数值分析
§ 矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似变换
§ 特征值与特征向量
§ 特征值的估计
§ 幂法
矩阵论与数值分析
一、特征值与特征向量
1、定义
定义1
设ACn n,若存在数  C和 x  C n , x  0使得
Ax  x
则称是A的特征值， x称为 A属于 的特征向量。
矩阵论与数值分析
2、特征多项式
定义2
nn
设AC ,称 Inn  A为 A的特征矩阵，称det I  A
为A的特征多项式,称det In  A 0为 A的特征方程。
Remarks
1 AA的特征值就是 的特征方程的根；
2n 阶方阵 A在复数范围内一定有 n个特征值。
矩阵论与数值分析
3、特征值与特征向量的求法
设ACnn
1求 detInn A 0的 n个根 1 , 2 , ,  ,它们即为 A的
全部特征值；
2求解齐次方程组inI A x 0,其非零解向量即为
A的对应特征值i的特征向量；
矩阵论与数值分析
例1
1 2 2
设 求 的特征值与特征向量
AA 2  2 4 ,

2 4 2
解
A的特征多项式为
 1 2 2
detIA  2   2  4    22    7
2  4  2
矩阵论与数值分析
所以A的特征值为1  2 2，  3   7.
当12 2时，解方程组 2I  A x 
1 2 2   1 2 2 
   
2IA  2 4  4    0 0 0 
   
2 4 4   0 0 0 
22   
   
得基础解系 xx1 , 0
12   
   
01   
矩阵论与数值分析
所以对应1 2 2,的全部特征向量为 k 1 x 1  k 2 x 2
其中kk12,不同时为 0.
当3  7时，解方程组  7I  A x 
8 2 2   1 0 
   
7IA   2  5  4    0 1 1 
   
2  4  5   0 0 0 
1

得基础解系 x  2 ,故对应   7的全部特征向量为
33

2
k3 x 3， k 3  0.
矩阵论与数值分析
4、特征值与特征向量的性质
设A a Cnn ,称 a  a   a为 A的迹，记为
 ijnn 11 22 nn
trA ,即 tr A a11  a 22   ann .
设n 阶方阵 A a 的特征值为， ，，  ,则
 ijnn 12 n
1 1+  2 + + na 11  a 22   a nn =tr A ;
212  n  detA ;
TH
