文档介绍：第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法二、级数的绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法 1、定义:正、负项相间的级数称为交错级数.)1()1( 11 1nn nnn naa?????????或 2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i) ),3,2,1( 1????naa nn ; (ii) 0 l i m ??? nna , 则级数收敛, 且其和 1as?, 其余项 nr 的绝对值 1|| ?? nnar .)0(? na 其中证明 nnn naaaaaas 212223212)()(??????????又)()()( 21243212nn naaaaaas????????? 1a?,0 1???nnaa?. lim 12ass nn?????,0 lim 12???? nna?,}{ 2 是单调增加的数列 ns,}{ 2 是有界的数列 ns)( lim lim 12212????????? nnn nnass,s?., 1ass??且级数收敛于和),( 21???????nnnaar 余项, 21??????nnnaar 满足收敛的两个条件,. 1??? nnar 定理证毕. 收敛收敛??????????n n1)1(4 13 12 11)1 1??????????! 1)1(!4 1!3 1!2 11)2 1n n 例用 Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i) ),3,2,1( 1????naa nn ; (ii) 0 l i m ??? nna , 则级数收敛, 且其和 1as?, 其余项 nr 的绝对值 1|| ?? nnar .3、三点说明: (1) 满足条件(i) (ii) 的交错级数为莱布尼茨型级数. (2) 两个条件(i) (ii) 是交错级数收敛的充分条件. 若不满足条件(ii) ,则交错级数必发散. 若不满足条件(i) ,交错级数未必发散. 例如: ?????? 1 112 )1()1 n nn n 发散.?????? 12 2)1(1)2 n n n收敛. (3) 应用莱布尼茨定理判断交错级数敛散性必须验证这两个条件,缺一不可. 例1 判别级数????? 21 )1( n nn n )1(2 )1()1 (??????xx xx x?)2(0??x,1 单调递减故函数?x x , 1??? nnaa1 lim lim ??????n na n ?原级数收敛..,)( )(,)1 )((,)()2( .10)1( 1 1 1 的增减性从而得到的增减性符号判断的由求导对令或证明常用方法有: 判断 n n n nnn nnaxf xfxxfnfa a aaa aa??????????收敛收敛??????????n n1)1(4 13 12 11)1 1??????????! 1)1(!4 1!3 1!2 11)2 1n n 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?; 1)1 1???nn ;! 1)2 1???nn 发散收敛例用 Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 二、绝对收敛与条件收敛 1、定义:一般项为任意实数的级数称为任意项级数. 2、定理若???1|| n na 收敛,则???1n na ),( |)|(2 1Nnaav nnn???令,0? nv则|,| nnav?且, 1 收敛???? n nv ),||2( 11???????? n nnn nava?又. 1 收敛???? n na 定理的作用:任意项级数正项级数 3 、定义:若???0|| n na 收敛, 则称???1n na 为绝对收敛; 以上定理说明:若任意项级数绝对收敛,则该级数必收敛.