文档介绍：1 一、一维随机变量的数学期望定义 1设X是一离散型随机变量,其分布列为: 则随机变量 X 的数学期望为:X 1x)( 1xp 2x)( ixp ix ????)( 2xp P?????? i iixpxXE?????? i iixpxXE???? dx x xf XE?????????? dx x xf XE????????,xf 设X是一连续型随机变量,其分布密度为则随机变量 X的数学期望为定义 2 第三章随机变量的数字特征小结 2 随机变量 X及 Y 的数学期望分别定义如下: 假定级数是绝对收敛的. (1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为 p(x i, y j),则????,,??? ij jiiyxpxXE????.,??? ji jijyxpyYE????,?? i iXixpxXE????.?? j jYjypyYE (2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x, y),则随机变量 X及 Y 的数学期望分别定义如下: 假定积分绝对收敛. ???????????????,,dxdy yxxf XE???????????????.,dxdy yx yf YE??????????, dx x xf XE X??????????.dyy yfYE Y 二、二维随机变量的数学期望 3 ????????? i iixpxgX Eg EY 则定义随机变量函数的数学期望为: ?? XgY? X 1x)( 1xp 2x nx ????)( ixXP?)( nxp)( 2xp (1)设离散型随机变量 X的概率分布为: 三、一维随机变量函数的数学期望?????? dx xfxgX Eg EY???????机变量函数的数学期望为: ?? XgY?则定义随(2)若 X为连续型随机变量,??,xf其概率密度为 4 (1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为 p(x i, y j),则随机变量函数 g(X,Y)的数学期望如下: ????????,,,,??? ij jijiyxpyxgYXgE假定这个级数是绝对收敛的.(2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x, y),则随机变量 g(X,Y)的数学期望如下: ???????????????????,,,,dxdy yxfyxgYXgE假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望 5 五、关于数学期望的定理定理 1?? bEX abX aE???a Ea ??? EX aXaE????? bEX bX E?推论(1)(2) (3) 定理 2推论. 11????????????? ni i ni i EX XE?????? YEXEYXE???定理 3 若X、 Y 独立,则有: 推论. 11????????????? ni i ni i EX XE 相互独立,则若 nXXX,,, 21??????? YEXE XY E? 6 X 的标准差: ?? 2 EX XE DX ?? DX X??定义 X 的方差: 若 X 为离散型随机变量,则有????????? 1 2)( i iixp EX xXD 若 X 为连续型随机变量,则有???????????dx xf EX xXD)( 2????., 2ji ij jyxp EY y????????,, 2ji ij iyxp EX x??????????? j jY iyp EY y 2?? XD???? iX i ixp EX x??? 2?? YD 二维随机变量的方差离散型随机变量??,,YX 六、方差与标准差 7 ????????????????,, 2 dxdy yxf EX x????????????????., 2 dxdy yxf EY y??????????? dyyf EY y DY Y 2??????????? dx xf EX x DX X 2连续型随机变量??,,YX22)( EX EX DX ??方差的计算公式: ;0? Db??; DX bXD??.)( 2 DX aaX D??? DX abaX D 2??定理 1推论: 有关方差的定理: 8 ,p EX ?pq DX ?, np EX ? npq DX ?,?? EX ?? DX 2p q DX ?, 1p EX ?12 )( 2ab DX ??,2 ba EX ??, 1?? EX 21?? DX 二项分布: 0 -1 分布: 几何分布: 均匀分布:指数分布: Poisson 分布定理 2:?? DY DX YXD???若X与 Y 独立, 推论: ??????????????? ni i ni iXDXD 11若 nXXX,,, 21?相互独立, 七、某些常用分布的数学期望及方差 9 对于离散随机变量: ??