文档介绍：第六讲薄壁杆件的约束扭转
第一节基本假定
薄壁杆件的自由扭转是指杆件受扭时,截面的纵向翘曲位移不受约束,因而纵向翘曲应变和相应的正应力都不存在。当截面的纵向翘曲位移受到约束时,便产生约束正应力和相应的附加剪应力,这便是约束扭转。约束扭转的分析,可以从确定截面上纵向翘曲位移着手,进而利用弹性理论的几何方程确定纵向翘曲应变;利用物理方程确定翘曲正应力;最后利用微单元的平衡方程确定相应的翘曲剪应力。
薄壁杆件的约束扭转分析中,除沿用前两章的若干基本假定(包括平面假定、线性假定、小变形假定和周边投影不变形假定)外,补充的基本假定有:
1、约束扭转产生的正应力和剪应力沿壁厚均匀分布(参见图5-7),并且杆件纵向纤维不存在正应力。
据此假定,由图3-2所示薄壁单元体在轴方向的平衡条件,可得到截面正应力和剪应力间的微分关系,即式(3-19)
(6-1)(3-19)
2、在约束扭转分析中,杆件纵向翘曲位移采用自由扭转时的表达式。
根据弹性理论,参照图6-1,薄壁单元体的剪切应变为:
(6-2)
图6-1
由周边投影不变形假定有:。这里,为扭转角,为扭转中心到点切线的垂直距离(见图3-4),于是式(6-2)可写为:
那么,纵向翘曲位移的一般表达式便可由此积分求得,即
(6-3)
式中为=0处的翘曲位移值。
参照第三讲剪力中心推导中关于扇性坐标的定义有:
(6-4)(3-30-1)
式中为自积分起点至扇性零点(=0,到点所包围的扇性面积的2倍。
于是,纵向翘曲位移的一般表达式(6-3)可写为:
(6-5)
对于开口薄壁杆件,其在中面上的自由扭转剪应变,代入上式便得截面的纵向翘曲位移表达式
(6-6)
对于闭口薄壁杆件,其在中面上的自由扭转剪应变,根据虎克定律,分别按单室或多室闭口截面确定剪应力剪应变。
对于单室截面,剪应力由式(5-38)给出,于是,剪应变可写成:
(6-7)
式中自由扭转矩
(6-8)
将式(6-7),式(6-8)代入式(6-3),化简后便可得:
(6-9-1)
或(6-9-2)
其中:
(6-10)
称为广义扇性坐标,它表示产生单位扭转角(时的纵向翘曲位移,因此,常称为单位翘曲。显然,其中第二项则为计及中面自由扭转变形影响的修正项,此即与开口截面()的差别所在。
对于多室截面,在剪切变形表达式中,引入相应的剪力流,即将以下各式:
代入中得到多室截面自由扭转变形剪应变:
=
对于截面周界壁和交界壁则分别为:
截面周界壁上: (6-11-1)
截面交界壁上: (6-11-2)
将式(6-11)代入式(6-3)后积分,得到多室截面翘曲位移表达式如下:
周界壁:
交界壁:
或统一写成:
(6-12)
式中:
周边(6-13-2)
交界(6-13-2)
上式展开并引入扇性坐标后,改写为:
周界壁(6-14)
交界壁
称为闭口截面的广义扇性坐标,当以扭转中心为极点,以主扇性零点()为积分起点(=0)时,则称为主广义扇性坐标。
上述推导中均引用了自由扭转的剪切特性。为计及约束扭转引起的翘曲剪应力的影响,苏联学者YMANCKИЙ建议以一待定函数来代替扭转角,即将式(6-12)写成:
(6-15)
这便是闭口截面约束扭转翘曲位移的表达式,它具有与开口截面翘曲位移式(6-6)相似的形式。
由于式(6-5)为纵向翘曲位移的一般表达式,其中剪应变沿用了自由扭转的有关公式,对于开口截面,式(6-6)中显然忽略了沿壁厚均匀分布的约束扭转剪应力产生的剪应变;对于闭口截面,式(6-15)也只是近似地计及了约束扭转剪应力的影响。故本书将纵向翘曲位移表达式(6-6),式(6-15)视为约束扭转分析的一种基本假定。
第二节开口薄壁杆件的约束扭转
本节将按上节指明的约束扭转分析步骤讨论开口薄壁杆件的约束扭转问题。
一、纵向翘曲位移
如上节所述,开口薄壁截面的纵向翘曲位移
这里,为以扭转中心为极点,任选曲线坐标起算点的扇性坐标,其中为待定的积分函数,它表示起算点处的纵向翘曲位移。
二、约束扭转的正应力
引用弹性理论的几何方程,可直接写出纵向翘曲应变为:
根据物理方程——虎克定律及杆件纵向纤维间不存在正应力的基本假定,可得出约束扭转正应力为:
= (6-16)
式中待定函数可由静力学方程来确定,注意到截面内力中除外,其余内力,因此,约束扭转正应力在截面上是自相平衡的,即其合力为零。
(6-17)
注意到,将式(6-16)代入式(6-17)后得到待定积分函数
(6-18)
将式(6-18)代回式(6-16)有:
(6-19)
适当地选择曲线坐标起算点(=0),使积