文档介绍：黑神庙中学 吴永国老师
三角形内角和定理的证明
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
回顾与思考
☞
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
言必有“据”
回顾与思考
☞
?
1
(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠∠A和∠B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
2
B
3
A
1
2
C
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
已知:如图,△ABC.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
例题讲解P238
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∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
A
B
C
E
2
1
3
D
一题多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
议一议P239
请你帮小明把想法化为实际行动.
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?
证明:过点A作PQ∥BC,则
A
B
C
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.
P
Q
2
3
1
试一试
☞
。
你能否把三角形的3个内角转化为1个平角或同旁内角？
A
B
C
点在三角形的B、C边上
点在三角形的内部。
点在三角形的外部
两平行线间的同旁内角1
两平行线间的同旁内角2
(1)
证明：如图：在BC边上任取一点D，
过D 作DE∥AB交AC于点E，
DE∥AC交AB于F。
∵ DE∥AB
∴ ∠1=∠B，∠2=∠4
∵ DF∥AC
∴ ∠3=∠C，∠A=∠4
∴ ∠2=∠A
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴ ∠A+∠B+∠C=180°
3
2
1
A
B
C
D
F
E
4
点在三角形的BC边上
返回
点在三角形的内部。
如图，过三角形外一点P，作RS∥AC，QO∥AB，MN∥BC。求证： ∠A+∠B+∠C=180°。
证明∵MN∥BC，∴∠C=∠4
∵RS∥AC，∴∠4=∠1
C=∠1;
∵ RS∥AC，∴∠A=∠5
∵QO∥AB，∴∠5=∠2
∴∠A=∠2
∵RS∥AC，∴∠6=∠B
MN∥BC，∴∠3=∠6，
∴∠B=∠3
∴1+2+3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
∴∠
(2)
S
A
B
C
4
R
5
P
N
M
Q
O
1
2
3
6
返回
点在三角形的外部
A
B
C
N
R
S
Q
3
2
1
P
M
o
4
5
6
如图，过三角形外一点P，
作RS∥AC，QO∥AB，MN∥BC。
求证： ∠A+∠B+∠C=180°。
证明:
∵MN∥BC，∴∠C=∠4
∵RS∥AC，∴∠4=∠1
∴∠C=∠1
∵MN∥BC ，∴∠B=∠5
∵ QO∥AB，∴∠5=∠3
∴∠3=∠B
∵RS∥AC，∴∠A=∠6
∵QO∥AB，∴∠6=∠OPS
∴∠A=∠OPS
∴∠OP