文档介绍:高三艺术班数学复****专用资料
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数及其表示
一、必记3个知识点
1.函数映射的概念
函数
映射
两集合
A,B
设A,B是两个非空数集
设A,B是两个非空集合
对应
关系
f:A→B
如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
二、必明3个易误区
1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则.
2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是数集,则这个映射便不是函数.
3.误把分段函数理解为几种函数组成.
三、必会4个方法
求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的范围;
(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出f(x).
考点一
函数与映射的概念
,表示同一函数的是( )
A.y=x-1与y= B.y=与y=
C.y=4lg x与y=2lg x2 D.y=lg x-2与y=lg
考点二
函数的定义域问题
角度一 求给定函数解析式的定义域
=ln+的定义域为________.
角度二 已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域
2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域
考点三
求函数的解析式
[典例] (1)已知f=x2+,求f(x)的解析式;
(2)已知f=lg x,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
[针对训练]已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
4.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)=________.
5.有以下判断:
(1)f(x)=与g(x)=表示同一个函数.
(2)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数.
(3)若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确判断的序号是________.
6.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x
7.函数f(x)=的定义域是( )
A.{x|x≠-} B.{x|x>-}
C.{x|x≠-且x≠1} D.{x|x>-且x≠1}
8.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)>2x+5.
第2讲 函数的单调性与最值
一、必记3个知识点
1.增函数、减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则有:
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2);
(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2).
2.单调区间的定义
若函数