文档介绍：利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第 步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
一．洛必达法则
法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) 及 ；
在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；
(3) ，
那么
=
。
法则
2 若函数
f(x) 和 g(x) 满足下列条件：
(1)
及
；
(2) ，f(x) 和
g(x) 在
与
上可导，且
g'(x)
≠0；
(3) ，
那么 = 。
法则 3 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) 及 ；
在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；
(3) ，
那么 = 。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
将上面公式中的
x→a，x→∞换成
x→+∞，x→-∞，
，
洛必达法则
也成立。
洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。
在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ，
型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达
法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.(2010
年全国新课标理
) 设函数
。
（ 1）若 ，求
（ 2）若当 时
原解：（ 1）
当 时，
在 单调增加
时，
的单调区间；
，求 的取值范围
，
；当 时，
.
.故
在
单调减少，
（ II）
由（ I）知 ，当且仅当 时等号成立 .故
，
从而当
，即
时，
，而
，
于是当
时，
.
由 可得 .从而当 时，
，
故当 时， ，而 ，于是当 时， .
综合得 的取值范围为
原解在处理第（ II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解 :（ II ）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；
当 时， 等价于
令 (x>0), 则 ，令
，则 ， ，
知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函数，
； ，g(x) 在 上为增函数。
由洛必达法则知， ，故
综上，知 a 的取值范围为 。
2．（ 2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 在点 处的切线方程
为 。
（Ⅰ）求 、 的值；
（Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。
原解：（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ， 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
。
考虑函数 ，则 。
（ i ）设 ，由 知，当 时， ， h（ x）递减。
而 故当 时， ，可得 ；
当 x （1，+ ）时， h（x）<0，可得 h（