文档介绍：第五章
大学数学
(二)
脚本编写:曾金平刘楚中
课件制作:曾金平刘楚中
欧氏空间
本章目的
§1 内积、欧氏空间 Rn
一、R3 中向量的内积
三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题:
解:
所做功 W = f1 ·s
S
F
s
F1
= |F| ·|S|cos (F, S)
= F S.
定义
或记为
下面推导内积的具体计算公式.
如果, 都不为 0 向量, 且, 不平行(即, 线性无关), 则在空间直角坐标系中, 由原点 O 和, 的终点 A 和 B 可确定, 所在平面上的一个三角形 OAB.
A
B
O
由余弦定理, 知
= 2|| ·||cos
= ||2+||2 | |2
=2 (x1 x2 y1 y2 z1 z2)
2 ·
因此,· =(x1 x2 y1 y2 z1 z2). ()
A
B
O
() 称为向量内积的坐标表示。
特例1: 向量的长度
= (x1, y1, z1) R3,
|| ·|| =(, )= x1 x1 y1 y1 z1 z1 ,
特例2: 向量的垂直关系:
两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。
= (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) R3,
垂直于的充要条件为
cos= 0.
也即= x1 x2 y1 y2 z1 z2 = 0.
特例3: 向量的平行关系:
两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于 1 或-1。
若//, 则有 0,使= .
=(, )
(, )= 2 (, )
= (, )
= 2| | 2.
=
1 >0,
1 <0.
= ||2.