文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
(三)
多元微积分学
第一章
多元函数微分学
第一章多元函数微分学
本章学习要求:
理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。
理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。
知道二元函数的泰勒公式形式。
知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟
练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12. 理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约
束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉
格朗日乘数法求条件极值。
13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些
较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
●在几何方面的应用
●在优化方面的应用
●在优化方面的应用
极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴, 它是一种简单的优化问题.
多元函数的极值
无约束极值
有约束极值
变量替代法
拉格朗日乘数法
多元函数的极值
无约束极值的形式
目标函数:
表现形式:
一. 无约束极值
极大值和极小值的定义
设
在
内有定义.
若
总有
则称
为函数
的极大值(极小值).
称为函数的极大点(极小点).
函数的极大值和极小值统称为函数的极值.
例1
函数
在点
处
取极大值.
函数
在点
处取极小值.
例2
现在对已有的结果进行分析,
看能否得到一点什么.
例1
函数
在点
处
取极大值.
进行分析:
函数
(即固定
在点
处
取极大值,
由一元函数取极值的必要条件, 有
取极大值,
由一元函数取极值的必要条件, 有
类似地,
函数
(即固定
在点
处
上半单位球面