10第九单元 N维随机变量的数字特征.doc

文档介绍：第九单元 n维随机变量的数字特征
一、学习目标
通过本节课的学习,知道多个随机变量的期望和方差的性质,以及随机变量之间的协方差、相关系数概念,并会做二维随机变量的协方差和相关系数等简单问题.
二、内容讲解
二维随机变量的期望与方差的性质:
设二维随机变量(X,Y),有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
若X与Y是独立的,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)  

设X,Y为两个随机变量,且E(X),E(Y)存在,称数值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X,(X,Y),或sXY .
(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=
协方差刻划了随机变量X,Y取值间的联系.

设X,Y为两个随机变量,且D(X)>0,D(Y)>0,则称
为X, ,即rXY=
:½rXY½£1.
相关系数的意义是:它刻划X,Y间线性关系的近似程度.
问题思考:设X,Y是二随机变量,则下列事实是等价的吗?若是,加以证明若不是,请举出反例.
(1) =0;
(2) X与Y不相关;
(3) E(XY)=E(X)E(Y);
(4) D(X+Y)=D(X)+D(Y).
答案:是等价的。证明如下:由(1)=0,
则得=0,所以,.
由(1)=0,即
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]
=E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)=0
所以,E(XY)=E(X)E(Y).反之亦然.
由(1)=0,D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)]2
=E[(X-E(X))2-2(X-E(X))(Y-E(Y))+(Y-E(Y))2]
=D(X)-2+D(Y)=D(X)+D(Y)
反之亦然.
三、例题讲解
例1:设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为,求cov(X,Y)和.
解:cov(X,Y)=E
先求边缘分布密度.
fX(x)=
fY(y)=
再求X和Y的期望和方差.
E(X)=
因为X与Y的分布相同,有E(Y)=
再求协方差
cov(X,Y)=
=
=
=
=
最后求相关系数.
D(X)=
=
=
D(Y)=
代公式得到
求协方差就是按照定义式.
步骤为(1) 求各自的边缘分布密度;
(2) 计算各自的期望;
(3) 求协方差;
(4) 计算各自的方差;
(5)  计算相关系数.
四、课堂练习
练习1 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求随机变量X和Y的协方差和相关