文档介绍：第10章随机变量与数字特征典型例题与综合练习
一、典型例题
例1指出以下各变量是不是随机变量,是离散型的随机变量还是连续型的随机变量?
(1)某人一次打靶命中的环数;
(2)某厂生产的40瓦日光灯管的使用时数;
(3)鲁棉1号品种棉花的纤维长度;
(4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数;
(5)某单位一天的用电量.
解(1)设该人打靶命中的环数为X,若是10环靶,习惯上标为6环以下,7环、8环、,射击一次,,大量次数的射击可以告诉人们,该人射击的命中规律,,,7,8,9,10,故Y是离散型随机变量.
(2)设该厂生产的40瓦日光灯管的使用时数为Y(小时),如果随意取出1只进行试验,,大量统计可得到,寿命在1400~1600小时的灯管占绝大部分,,,故Y是连续型随机变量.
(3)设鲁棉1号品种的棉花纤维长度为Y,任取一根棉花的纤维,它的长度事先难以确定,但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性,,故Y是连续型随机变量.
(4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为X,则X是随机变量,且是离散型随机变量.
(5)设该单位一天的用电量为Z,则Z是随机变量,且是连续型随机变量.
我们将取值带有随机性,但取值的概率大小是确定的这种变量,,,其值是连绵不断的时,它是连续型随机变量.
 由于各种因素的影响,到底X取值为几难以确定,.
因为纱线被扯断的根数是一根一根的,就是说X的值是可以数出来的,若是考察一段时间内的纱线被扯断的根数,则X取值是有限的,若一直考察下去,则X取值是可列个.
该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定,由经验可知,,故Z是连续型随机变量.
(Y=m)=A(2+m)-1,m=0,1,2,3.
(1)试确定系数A;
(2)用表格形式写出Y的分布列;
(3)求P(Y<2),P(Y³1),P(=1<Y£3).
解:(1)由分布列的性质,有
=A(2+0)-1+A(2+1)-1+A(2+2)-1+A(2+3)-1
=A
于是得A=
(2)Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
(3)因为{Y<2},故m可取0,1,所以
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=»
因为{Y³1},m可取1,2,3,所以P(Y³1)= 
或P(Y³1)=1-P(Y=0)=1-
因为{-1<Y£3}包含了m的所有可能取值,
所以P(-1<Y£3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)
==1
确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质,所有可能取值概率的和为1,即.
分布列即随机变量取值的概率表,只需计算出所有概率值,列成表.
求离散型随机变量的概率,.
用随机变量的概率分布性质
因为A=,而P(Y=m)=A(2 + m)-1,
当m=0时,P(Y=0)=
当m=1时,P(Y=1)=
当m=2时,P(Y=2)=
当m=3时,P(Y=3) =于是,得到Y的分布列.
因为Y只能取值0,1,2,3,所以Y<2,只有Y=0或Y=1,于是有
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=
因为Y只能取值0,1,2,3,所以Y³1,即Y=1或Y=2或Y=3,于是有
P(Y³1)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=
或者用对立事件概率公式{Y³1}=,故P(Y³1)=1-P(Y=0}=1-
因为Y的所有可能取值为0,1,2,3,均在-1,3(包括3)内,可见{-1<Y£3}是必然事件.
例1设连续型随机变量X的概率密度函数为
(1)试确定系数k;(2)求P(X>),P(X<5),P(0£X£2).
解:(1)显然,k³0,由密度函数的性质,
因为
=
所以k=
那么,X的概率密度函数为
(2)