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第一章 解三角形
一. 正弦定理：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即
a b c
2R （其中 R是三角形外接圆的半径）
sin A
sin B sin C
2. 变形： 1）
a
b
c
a
b
c
．
sin
sin
sin C
sin
sin
sin C
2）化边为角： a : b : c
sin A : sin B : sin C ；
a
sin A ;
b
sin B ;
a
sin A ;
b
sin B
c
sin C
c
sin C
3
）化边为角： a
2R sin A,
b 2R sin B,
c 2R sin C
4
）化角为边：
sin A
a ;
sin B
b ; sin A
a ;
sin B
b
sin C
c
sin C
c
5
）化角为边：
sin A
a
,
sin B
b
,
sin C
c
2R
2R
2R
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角 B,C,a ，
o
a
sin A
;
b
sin B
a
sin A
解法：由 A+B+C=180，求角 A, 由正弦定理
b
sin B
c
;
c
; 求出 b 与 c
sin C
sin C
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边 a,b,A,
解法：由正弦定理 a
sin A
o 求出角 C，再使用正弦定理
a
sin A
b
sin B
c
sin C
c 边
△ ABC中，已知锐角 A，边 b，则
① a bsin A 时， B 无解；
② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解； ③ bsin A a b 时， B 有两个解。
b
b sin A
A
如：①已知 A
60
, a
2,
b
2
3 , 求 B ( 有一个解 )
②已知 A
60
, b
2,
a
2
3 , 求 B ( 有两个解 )
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二. 三角形面积
1. S ABC 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B
2 2 2
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S ABC
S ABC
S ABC
1 (a
b c) r , 其中 r 是三角形内切圆半径 .
2
1 (a b c) ,
p( p
a)( p