文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第三十讲一元微积分的应用(三)
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
——函数展开为幂级数
第六章一元微积分的应用
本章学习要求:
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”,能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
一、幂级数的解析运算
三、函数展开为幂级数
四、函数展开为幂级数应用举例
第六章一元微积分的应用
第四节函数展开为幂级数
二、泰勒级数
一、幂级数的解析运算
1
幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性.
该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似.
将函数项级数与构造的一个常数项级数
进行比较即可.
该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯.
魏尔斯特拉斯
Weierstrass, K. W
1815 — 1897
数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于
德国的奥斯登费尔特;1897年2月19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教
育的政府官员,颇具才智,但对子女相当专横。
魏尔斯特拉斯11岁丧母,翌年其父再婚。他有一
个弟弟和两个终身未嫁的妹妹,她们一直在生活
上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将
他送往波恩大学攻读财务与管理,使其学到充分的法律、经济和管理知识,为谋取政府高级职位创造条件。
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业,并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位,离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下,再一次被送到一所神学院学习。后来参加并通过了中学教师资格国家考试,在一所任教。在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题,精心撰写“阿贝尔函数”的论文,并于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作,引起了数学界的瞩目。
1855年秋,魏尔斯特拉斯被提升为高级教师,并享受一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授,他欣然地接受了聘书。同年的11月19日他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授,在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础,进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大学校长,从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间,紧张的工作影响了他的健康,使他疲惫不堪,但他的智力未见衰退,研究工作仍继续进行。
1897年初,魏尔斯特拉斯染上流行性感冒,引发肺炎,医治无效,于1897年2月19日与世长辞,享年 82 岁。
除柏林科学院外,魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员(1856年)、巴黎科学院院士(1868年)、英国皇家学会会员(1881年)。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。
魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人,是无与伦比的大学数学教师。
幂级数的解析运算
2
幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的
在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.
幂级数的解析运算
3
幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性
在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续,
故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然,
幂级数也在其收敛区间内可积.
逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有
相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变.