文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第三十讲一元微积分的应用(六)
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
——微积分在物理中的应用
第七章常微分方程
本章学****要求:
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.
了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方
程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分
.
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.
知道下列高阶方程的降阶法:
了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线
性微分方程的解法.
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.
掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方
程的解法.
第五节二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐线性方程
二阶常系数非齐线性方程
特征方程
特征根
一、二阶常系数齐次线性微分方程
形如
的方程,称为二阶常系数齐线性微分方程,
即
特征方程
二阶常系数齐线性微分方程
的特征方程为
是方程(1) 的两个线性无关的解,故方程(1) 的通解为
二阶常系数齐线性微分方程
的特征方程为
由求根公式
由刘维尔公式求另一个解:
于是,当特征方程有重实根时,方程( 1 ) 的通解为
二阶常系数齐线性微分方程
的特征方程为
3) 特征方程有一对共轭复根:
是方程( 1 ) 的两个线性无关的解,其通解为
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式:
由线性方程解的性质:
均为方程( 1 ) 的解,且它们是线性无关的:
故当特征方程有一对共轭复根
时,原方程的通解可表示为