文档介绍:“震撼”的动感地带――旋转
在数学学移、旋转或翻折对称,数学的运动变换给人以“动感”的美,堪称数学中的“动感地带”。数学变换的利用,正表现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。
下面仅就旋转变换,结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧!
例1:图所表示,△ABC为等边三角形,点P为正三角形内一点,且AP=3,BP=4,CP=5,求△ABC的边长是多少?
分析和思索:结合△ABC为正三角形及AP=3,BP=4,CP=5的特殊性3,4,5为勾股数考虑到利用旋转变换,进行转化。
△APB绕点A逆时针旋转60°,得△ADC,则能够判定△APD为等边三角形。则PD=3,再注意到△PDC中,PD=3,DC=PB=4,PC=5,则由此判定△PDC为直角三角形,∠PDC=90°,因此而且等边三角形△APD的面积可求,因为其边长PD=PA=AD=3因此:。
△CPA绕点C逆时针旋转60°,得△CEB,则可判定
△PCE为等边三角形,且边长PE=5,观察△PBE中,PB=4,BE=AP=3,又PE=5,因此由此判定△PBE为直角三角形。其中∠PBE=90°,因此且等边三角形△PEC面积为:。
,将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得△BFA。则可判定△BPF为等边三角形,且边长PF=4,观察△APF
这里我们经过旋转,巧妙的利用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系,顺利的处理了此处的问题。当然,我们还有更为简捷的方法处理这里的问题。等到以后的更高的年级里我们再深入学习“余弦定理”以后,我们就能够利用“余弦定理”轻松地加以处理了。
下面我们再看一例。
例2:图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC内部,∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7,则以AP、BP、
CP为边的三角形的三个内角各为多少?
分析和思索:显然∠APB、∠BPC、
∠CPA均可求出,因为∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,且∠APB:∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7。因此∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°。考虑利用旋转,将PA、PB、PC三边集中到同一个三角形中去,将△APB绕点A逆时针旋转60°,得△ADC。则能够判定△APD为等边三角形。于是AP=PD,且DC=PB,此时在△PDC中的三个内角即为题中所要求的三个内角。
显然:∠DPC=∠APC-∠ADP=140°-60°=80°。且∠PDC=∠ADC-∠ADP=∠APB-∠ADP=100°-60°=40°,因此:∠PDC=180°-∠DPC-∠PDC=180°-80°-40°=60°。这么以AP,BP,CP为三边