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上传人:书犹药也 2021/4/22 文件大小:15 KB

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文档介绍

文档介绍:函数对称性梳理函数的对称性

  函数的对称性是函数的一个主要性质,对称关系广泛存在于数学问题之中,利用对称性能更简捷地处理问题。函数的对称包含函数本身的对称性和不一样函数之间的对称性。下面详细分析各个方面:
  一、函数本身的对称
  =f(x)的图像有关点A(a,b)对称的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b
  推论:函数y=f(x)的图像有关原点的对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
  =f(x)的图像有关直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)
  推论:函数y=f(x)的图像有关y轴对称实际是偶函数的充要条件是f(x)=f(-x)
  定理3.①若函数y=f(x)图像同时有关点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称a≠b,则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
  ②若函数y=f(x)图像同时有关直线x=a和直线x=b成轴对称a≠b,则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
  ③若函数y=f(x)图像既有关点A(a,c)成中心对称又有关直线x=b成轴对称a≠b,则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
  二、不一样函数对称性
  =f(x)和y=2b-f(2a-x)的图像有关点A(a,b)成中心对称。
  定理5.①函数y=f(x)和y=f(2a-x)的图像有关直线x=a成轴对称。
  ②函数y=f(x)和a-x=f(a-y)的图像有关直线x+y=a成轴对称。
  ③函数y=f(x)和x-a=f(y+a)的图像有关直线x-y=a成轴对称。
  推论:函数y=f(x)的图像和x=f(y)的图像有关直线x=y成轴对称实际是函数和反函数的问题。
  三、函数对称性应用举例
  例1定义在R上的很数函数满足:f(x+10)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是
  ,也是周期函数
  ,但不是周期函数
  ,也是周期函数
  ,但不是周期函数例
  解:因为f(x+10)为偶函数,因此f(10+x)=f(10-x)。因此f(x)有两条对称轴x=5和x=10,所以f(x)是以10为其一个周期的周期函数,因此x=0即y轴也是f(x)的对称轴,所以f(x)还是一个偶函数。故选A。
  2:设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)全部有反函数,而且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像有关直线y=x对称,若g(5)=1999,那么f(4)=。
  A1999;B2021;C2021;D2021。
  解:∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像有关直线y=x对称。
  ∴y=g-1(x-2)反函数是y=f(x-1),而y=g-1(x-2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=2021

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