文档介绍：《数学分析(III)》试题答案
3
一.(本题满分 10 分) zyx === 。
000 3
π
二.(本题满分 10 分) a 2 。
2
15
三.(本题满分 10 分) 。
2
四.(本题满分 10 分)
作球面坐标变换= rx ϕθ= ry ϕθ= rz cos,sinsin,cossin ϕ得
1 2ππ
z|| dxdydze = 2 θ r ϕ|cos| sin deddrr ϕϕ。
0 0 ∫∫∫∫∫∫ 0
Ω
π
ππ
r ϕ|cos| 2 r cosϕ−r cosϕ r
由于 sin ϕϕ= sin ϕϕ+ π erderder ϕϕ ed −= )1(2sin ,所以
∫0 ∫0 ∫
2
1
z|| dxdydze = π r drer =− 2)1(4 π。
∫∫∫∫0
Ω
五.(本题满分 10 分) 2πa 2
π
六. (本题满分 10 分) − h 4 。
2
y
七.(本题满分 10 分) λ−= 1; yxu −= arctan),( + C 。
x 2
∞ 2cos42 nx
八.(本题满分 15 分) xf )( −= , −π≤ x ≤π;
∑ 2
ππ n=1 n −14
∞ 1 1 ∞ 1 π 2 1
= ; −= 。
∑ 2 ∑ 2 2
n=1 n −14 2 n=1 ()n −14 16 2
cos xt 1
九.(本题满分 15 分)(1)因为≤,x ∈−∞+ ∞),( ,t ∞+∈),1[ ,
+ 2 )1( + tttt 2 )1(
∞+ 1 ∞+ cos xt
而 dt 收敛,所以 dt 关于 x 在−∞+ ∞),( 上一致收敛。
∫ 1 + tt 2 )1( ∫1 + tt 2 )1(
∞+ cos xt
(2)对于任意给定的ε> 0 。因为 dt 一致收敛,所以存在 A > 1,使
∫1 + tt 2 )1(
∞+ cos xt ε A cos xt
得 dt < ( x −∞∈+ ∞),( )。由 Riemann 引理知 lim dt = 0 ,
∫ A + tt 2 )1( 2 x +∞→∫1 + tt 2 )1(
A cos xt ε
所以存在X > 0 ,当> Xx 时成立 dt < ,于是当> Xx 时成立
∫1 + tt 2 )1( 2
∞+ cos xt A cos xt