几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集.pdf

文档介绍：§ 几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集

本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质,予以一般化。
对∀ E ⊆ R n ,我们可以通过看是否有 x 的完整邻域含于 E 中将 R n 中点x分
为三类:
a. ∃U (x,δ)满足 U (x,δ) ⊆ E

b. ∀U (x,δ)满足 U (x,δ) ∩ E ≠Φ,U (x,δ) ∩ CE ≠Φ

c. ∃U (x,δ)满足 U (x,δ) ⊆ CE

我们称 a 类点为 E 的内点,记其全体为E 0 ;b类点为E的边
界点,记其全体为∂ E;c 类点为 E 的外点。
显然外点全体为(CE) 0 ,R n =E 0 ∪∂ E∪(CE) 0

()
:M 1 是 E 的内点,M 2 、M 3 、M 4 、M 5 是 E 的边界点,M 6 是E
的外点。
:E 的边界点既有可能属于 E(如 M 2 、M 3 、M 5 ),又有可能不属于
E(如 M 4 )。
:E 的边界与 CE 的边界相同,即∂ E= ∂(CE)
:不受“[a,b]的边界只有 a,b 两点”这个具体结论的直观约
束而得出错误的一般结论:“E 的边界∂ E 相对集合 E 而言只是很少一部分”。
事实上,直线上的有理数全体的边界是整个实数集。
对∀ E ⊆ R n ,我们也可以通过看 x 的邻域含 E 中点的多少将 R n 中点x分
为三类:
e. 对∀δ> 0,U (x,δ) ∩ E −{x} ≠Φ

 f . ∃U (x,δ)满足 U (x,δ) ∩ E ={x }

 g. ∃U (x,δ)满足 U (x,δ) ∩ E = Φ(显然此类点即外点)

我们称 e 类点为 E 的聚点(或极限点),记其全体为 E',并
称为 E 的导集;f 类点为 E 的孤立点,显然其全体为 E-E'。
即Rn =E'∪(E- E')∪(CE) 0
,M 1 、M 2 、M 3 、M 4 是 E 的极限点,M 5 是 E 的孤立点。
按第一种分类法的内点,是第二种分类法的聚点,按第一种分类法的边界点,
按第二种分类法既有可能是聚点如 M 2 、M 3 、M 4 ,又有可能是孤立点如 M 5 。同样
按第二种分类法的孤立点,是第一种分类法的边界点,按第二种分类法的聚点,
按第一种分类法既有可能是内点 M 1 ,又有可能是边界点 M 2 、M 3 、M 4 。对外点而
言,两类分类方法所指的概念是完全一致的。
“极限点”中的“极限”二字体现在何处,“聚点”中的“聚”字体现在哪
里呢?下述两个定理将对此作出解释。
: x∈E'<=>ョ互异点列 x n ∈E,x n ≠x,且xn →x(n→+∞)
1
证明“=>”因为 x∈E',所以对δ n =min{ ,d(x,x n−1 )},存在
n
x n ∈U(x,δ n )∩E-{x},显然 x n ∈E 互异,x n ≠x,且 x n →x(n→